, Piotr 10: Reszta z dzielenia wielomianu P(x)=x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+1 przez dwumian (x−3) jest równa 1. Wykaż, że jeśli liczby a,b,c,d są liczbami całkowitymi to wielomian P(x) nie ma pierwiastków wymiernych. P(x)=x⁵+ax⁴+bx³+cx²+dx+1 P(3)=1 243+81a+27b+9c+3d=0 Zakładam, że wielomian P(x) ma pierwiastki wymierne Możliwymi pierwiastkami wymiernymi są '−1' , '1' P(1)=0 1+a+b+c+d+1=0 a+b+c+d+2=0 P(−1)=0 −1+a−b+c−d+1=0 a−b+c−d=0 (*) a+b+c+d+2=0 (**)a−b+c−d=0 ⇒ a=b −c+d (*) b−c+d+b+c+d+2=0 2b+2d+2=0 b+d = −1 ⇒ b = −1 −d a=b−c+d= −1 −d−c+d= − 1 −c 243+81a+27b+9c+3d=0 243+81(−1−c)+27(−1−d)+9c+3d=0 243 − 81 −81c − 27 −27d+9c+3d=0 135 − 72c −24d =0 : 24 5.625 − 3c −d =0 5.625=3c+d Wiemy, że c ⋁ d ∊ C, zatem L_s∊C , zas P_s=5,625 A zatem jest to równanie sprzeczne, Więc wykonując ciąg równoważnych przekształceń doszedłem do wniosku, że równość końcowa jest fałszywa, a więc wielomian P(x) nie ma pierwiastków wymiernych. Może ktoś sprawdzić ?

Piotr 10: Hmm ?

bezendu: Ja robiłem inaczej W(3)+W(1)+W(−1)=0 i żeby to była prawda to P=P N=N W(1)=1+a+b+c+d+1=0 W(−1)=−1+a−b+c−d+1=0 W(3)=3⁵+3⁴a+3³b+3²c+3d+1=1 (3⁵+1)+(3⁴+1)a+(3³+1)b+(3²+1)c+(3+1)d+2=1 Tutaj same P a po prawej nieparzysta więc Fałsz (3⁵−1)+(3⁴+1)a+(3³−1)b+(3²+1)c+(3−1)b+2=1 I znowu mam parzystę a po lewej nieparzystą więc fałsz Może ktoś to oceni ?

Eta: Mogłeś dodać stronami równania: P(3) i P(1) otrzymasz po lewej sumę liczb parzystych a po prawej 1 −−− sprzeczność podobnie P(3) i P(−1)

bezendu: Czyli dobrze myślałem Eta ?

Eta: Baaardzo dobrze

bezendu: Nadzieja, że na maturze coś będzie ok

Eta: Będzie, będzie

bezendu: Ja liczę na dalszą pomoc z planimetrii i wyrozumiałość !

Eta: Musisz być grzeczny

bezendu: Jestem grzeczny ?

Eta: Czasem nie

bezendu: Bo nie lubię jak ktoś liczy na gotowca a nawet do teorii nie zajrzy

Piotr 10: To w końcu mam to dobrze czy nie ?

mietek: niegrzeczny jesteś... dosyć często... piotrek pomysł ok rachunków nie sprawdzałem

Mila: 23:05 dobrze, pomijając , że pomyliłeś strone lewą z prawą (na końcu). Popatrz jak radzi Eta, mniej czasu zajmuje.

Piotr 10: Ok, dziękuję pięknie .