Wielomiany Rafał: Witam! Wielomiany Dla jakich wartości parametru m (m∊R) równanie x⁴−2mx²=m²−4 ma 3 różne rozwiązania? Moim zdaniem będą to 2 wielomiany 2 stopnia, w którym 1 będzie miał Δ=0 i drugi Δ>0 Niestety nie wiem jak ruszyć z zadaniem

Rafał28: wszystko na jedną stronę x⁴ − 2mx² − m² + 4 = 0 (1) t = x² t² − 2mt − m² + 4 = 0 (2) i myślimy; Równanie (1) będzie mieć 3 różne rozwiązania, gdy równanie (2) będzie mieć dwa pierwiastki z czego jeden z nich będzie równy 0 a drugi będzie dodatni.

Rafał: Proszę dalej

PW: Równanie 4. stopnia ma 3 rozwiązania − oznacza to, że wielomian W(x) = x⁴−2mx²−m²+4 ma 3 pierwiastki, w tym jeden podwójny − dobrze myślisz. Podstawiamy x² = t ≥0 (1) t² − 2mt − m²+4 = 0, Δ = 4m²+4m²−16 = 8(m²−2); Δ>0 ⇔ m²−2>0 ⇔m<−√2∨m>√2. Dla takich m równanie (1) ma dwa rozwiązania:

	2m−√8(m2−2)
t1 =		= m−√2(m2−2), t2 = m+√2(m2−2),
	2

co oznacza że x² = m−√2(m²−2) ∨ x² = m+√2(m²−2). Warunek istnienia 3 rozwiązań będzie spełniony, jeżeli jedna z liczb m−√2(m²−2), m+√2(m²−2) będzie dodatnia, a druga równa zeru przy założeniu m∊(−∞,−√2)∪(√2,∞).

Rafał: Wynik jest 2... tylko nie wiem jak do tego dojść... Ogólnie, sam jak liczyłem to zatrzymałem się na przedziałach m<−√2∨m>√2. i dalej nie wiedziałem jak ruszyć

ICSP: Można próbować prościej : Równanie : t² − 2mt + 4 − m² = 0 ma mieć pierwiastek t = 0 , zatem wyraz wolny tego wielomianu musi być równy 0. Dostajemy równanie m² = 4 skad m = 2 v m = −2. Drugi pierwiastek musi być dodatni zatem m = −2 odpada. Dostajemy zatem, że jeżeli istnieje parametr m który spełnia warunki zadania, to musi być on równy 2, Sprawdźmy : x⁴ − 6x² = 0 x²(x² − 6) = 0 x = 0 v x = ± √6 Odp m = 2

Rafał: Co za koleś!

PW: Jak zwykle skomplikowałem niepotrzebnie (a teraz sobie przypominam, że sam kiedyś na to t=0 wpadłem i skleroza).