Objętość graniastosłupa prawidłowego jest równa 6. Dla jakiej liczby a∊<2,6> TNT: Objętość graniastosłupa prawidłowego jest równa 6. Dla jakiej liczby a∊<2,6>, gdzie a jest długością krawędzi podstawy, pole powierzchni bocznej graniastosłupa jest najmniejsze?

tim: A może jest podany jaki prawidłowy?

tim: Zresztą to nie ważne. Rozwiążmy to zadanie dla trójkątnego, czworokątnego i pięciokątnego. A. Trójkątny. V = 6 P_p = a²√3/4 V = P_p * h h = V/P_p

	6		24		24√3
h =		=		=
	a2√3   4		a2√3		3a2

	24√3
Pb = 3 * a * h (3 ściany boczne o boku a i wysokości h) = 3 * a *
	3a2

	24√3
Pb =
	a

Rysujemy hiperbolę i zauważamy, że minimum w przedziale <2,6> przyjmuje w 6 i wynosi

	24√3
		= 4√3.
	6

B. Czworokątny. V = 6 P_p = a² V = P_p * h h = V/P_p

	6
h =
	a2

	6
Pb = 4 * a * h (4 ściany boczne o boku a i wysokości h) = 4 * a *
	a2

	24
Pb =
	a

	24
Rysujemy hiperbolę i zauważamy, że minimum w przedziale <2,6> przyjmuje w 6 i wynosi		=
	6

4. C. Pięciokątny. V = 6

	a2
Pp =		√25 + 10√5
	4

V = P_p * h h = V/P_p

	6
h =		= U{24}{a2√25 + 10√5
	a2   √25 + 10√5 4

	24
Pb = 5 * a * h (5 ściany boczne o boku a i wysokości h) = 5 * a *
	a2√25 + 10√5

P_b = U{120}{a√25 + 10√5 Rysujemy hiperbolę i zauważamy, że minimum w przedziale <2,6> przyjmuje w 6 i wynosi U{120}{6√25 + 10√5 ≈ 2,90. Nie ma sensu rozpatrywać kolejnych przypadków, gdyż im większy kąt foremny w podstawie tym mniejsza powierzchnia boczna, ale zawsze dla a = 6.

tim: C. Pięciokątny. V = 6

	a2
Pp =		√25 + 10√5
	4

V = P_p * h h = V/Pp

	6		24
h =		=
	a2   √25 + 10√5 4		a2√25 + 10√5

	24
Pb = 5 * a * h (5 ściany boczne o boku a i wysokości h) = 5 * a *
	a2√25 + 10√5

	120
Pb =
	a√25 + 10√5

Rysujemy hiperbolę i zauważamy, że minimum w przedziale <2,6> przyjmuje w 6 i wynosi

	120
		≈ 2,90.
	6√25 + 10√5

Nie ma sensu rozpatrywać kolejnych przypadków, gdyż im większy kąt foremny w podstawie tym mniejsza powierzchnia boczna, ale zawsze dla a = 6.