Geometria analityczna Marcin: Wyznaczyc rownanie ogolne plaszczyzny przechodzacej przez punkt P=(−1,1,2) i prosta l l: x = 1 + 5t y = −1 + t z = 2t ; t∊R Chyba wystarczy znalezc dwa punkty, A oraz B nalezace do prostej i pomnozyc wektorowo wektory PA oraz PB i mamy wektor normalny szukanej plaszczyzny, tak? Dziekuje, zaraz wstawie jeszcze kilka przykladow, zeby sie upewnic co do poprawnosci wykorzystywanych przeze mnie metod.

zderzak: A nie wystarczy po prostu wziąć tego punktu P i wyciągnąć wektora z prostej l i podstawić do wzoru na równanie płaszczyzny?

Krzysiek: Tak Marcin.

Marcin: Wyznaczyc rownanie parametryczne prostej zawartej w plaszczyznie π:2x−y+z+3=0 i prostopadlej do

	x+4		y−3		z+2
prostej l:		=		=
	3		−1		3

Rownanie parametryczne l ma wtedy postac: x = −4 + 3s y = 3 − s z = −2 + 3s; s∊R Znajduje dwa punkty nalezace do prostej l: P₁=(−4,3,−2), P₂=(−1,2,1), wyznaczam wektor kierunkowy l: P₁P₂=(3,−1,3), szukam wektora kierunkowego n = (a,b,c) szukanej prostej, bedzie on prostopadly do prostej l, jezeli iloczyn skalarny P₁P₂ razy skalarnie n = 0, wtedy musi byc: b = 3a+3c, zatem bedzie to wektor np. n=(1,6,1), przy czym jest to jednoczesnie wektor nalezacy do plaszczyzny π, poniewaz A=(−1,1,0), B=(0,7,1) naleza do π oraz wektor AB = n. Zatem wykorzystujac ten wektor i punkt A otrzymuje rownanie parametryczne szukanej prostej: x = −1 + s y = 1 + 6s z = s; s∊R

Marcin: @zderzak, co dokladnie rozumiesz przez wyciagniecie wektora? Bo chyba musialby to byc wektor prostopadly do tej prostej, jesli sie nie myle. I to tez chyba by nie wystarczylo.

Marcin: Dziekuje Krzysiek

zderzak: masz rację zrobić z punktów wektor i pomnożyć je wektorowo a potem do równania płaszczyzny

Krzysiek: drugie źle. n◯[3,−1,3]=0 i n||π więc n◯[2,−1,1]=0 i rozwiązujesz układ równań.

Marcin: Hmm, nie wiem, czy to celowo, czy nie, widze same kwadraty, a moze tam jest cos innego? Jak rozumiem: n razy skalarnie [3,−1,3] = 0 i n razy wektorowo [2,−1,1] = 0, tak?

Krzysiek: dwa skalarne działania są.

Marcin: A nie...chyba rowniez n razy skalarnie [2,−1,1] tam powinno byc...bo skoro n ma byc zawarty w π, to musi byc prostopadly do [2,−1,1], zgadza sie?

Marcin: Czyli rozw. uklad: 3a−b+3c=0 2a−b+c = 0, a wlasciwie to znajduje jedno z wielu mozliwych rozw., przy czym musi byc one rozne od [0,0,0], zgadza sie? Przykladowe rozw. n=[2,3,−1] i wystarczy wykorzystac tutaj znaleziony wczesniej punkt plaszczyzny A i podstawic i gotowe, zgadza sie?

Marcin: Wyznaczyc rownanie ogolne plaszczyzny przechodzacej przez punkt P=(1,3,1) i prostopadlej do prostej l l: x + y − z + 2 = 0 i 2x + 3y + z − 1 = 0 Wyznaczam wektor kierunkowy (v) l mnozac wektorowo wektory normalne plaszczyzn v = [4,−3,1] Znajduje punkt A∊l [A=(x,y,z)] taki, ze AP razy skalarnie v = 0, wowczas AP bedzie wektorem normalnym szukanej prostej AP = [1−x, 3−y, 1−z] AP razy skalarnie v = 0 4x − 3y + z = −4 Wyznaczam przykladowe A spelniajace powyzsze rownanie: A = (−1,0,0) Wtedy AP = [2,3,1] szukana prosta: x = 1 + 2s y = 3 + 3s z = 1 + s; s∊R

Marcin: Hmm...ale tak patrze...to A chyba nie nalezy do prostej l...bo zeby tak bylo, chyba musi spelniac oba rownania plaszczyzn wyznaczajacych prosta l, tak?

Marcin: Zaraz zaraz Mialem wyznaczyc rownanie plaszczyzny...a ja kombinuje z prosta

Marcin: Czyli do rownania plaszczyzny wystarczy wziac to wyznaczone v + dany punkt i gotowe, tak?

Krzysiek: tak