Zastosowanie rachunku różniczkowego Krzysiek: Proszę o pomoc: Udowodnić, że dla α<β i α,β∊(0,π/2) zachodzi nierówność: tgα/α < tgβ/β

Maslanek: Przenieśmy na jedną stronę:

	tg(a)		tg(b)
Mamy		−		< 0
	a		b

	tg x
Weźmy f(x)=
	x

	π
Funkcja ta jest ciągła i różniczkowalna na (0,		)
	2

Z twierdzenia Lagrange'a:

tg b   tg a   − b   a		pi
	=f'(e), gdzie e∊(0,		)
b−a		2

tg b		tg a
	−		= f'(e)*(b−a)
b		a

Może tak Wtedy wystarczy pokazać, że f'(e)*(b−a)>0 dla b>a

Krzysiek: Aha. A mógłbym jeszcze prosić o pomoc w uzasadnieniu tego, że f'(e)*(β−α)>0 dla β>α ?

Maslanek: Właśnie na tym polega cały ambaras, że trzeba to policzyć

Maslanek: Ogólnie:

	x   −tgx cos2x
f'(x)=
	x2

	x		π
Należy uzasadnić, że		−tgx > 0 dla e∊(0,		), bo drugi z czynników jest na
	cos2x		2

pewno dodatni w iloczynie wyżej ^^

Krzysiek: Aha. I jeżeli to uzasadnię, to będzie to już koniec zadania?

Maslanek: Sposobów jest sporo:

	x−sinx*cosx
Najpierw na pewno sprowadzamy do wspólnego mianownika:
	cos2x

Wystarczy więc, żeby licznik był dodatni, więc: x−sinx*cosx>0

	π
(1) szacujemy sinx*cosx<sinx dla x∊(0,		), bo cosx jest wtedy malejący.
	2

Czyli 0<x−sinx<x−sinx*cosx (bo nierówność x−sinx>0 jest już oczywista)

	1
(2) oznaczamy funkcję g(x)=x−sinxcosx=x−		sin2x
	2

	π
Pokazujemy, że g'(x)>0 dla x∊(0,		)
	2

Krzysiek: Zadam głupie pytanie−co w Twoich oznaczeniach oznacza e?

Maslanek: Pytanie dobre. Zajrzyj do twierdzenia Lagrange'a . Nie wzięło się znikąd

Krzysiek: Twierdzenie Lagrange'a o wartości średniej mówi nam, że jeśli f jest ciągła na [a.b] i różniczkowalna na (a,b), to istnieje takie ksi należące do (a.b), takie że f'(ksi)=[f(b)−f(a)]/b−a. Czyli e to takie ksi, tak?

Krzysiek: A kiedy pokażę, że g'(x)>0 to jest koniec zadania?