Geometria Analityczna Awgwa: Cześć, bawię się z tym zadaniem już godzinę ale nie wychodzi mi wynik z odpowiedzi (4√14/7). "Oblicz wysokość ostrosłupa ABCD opuszczoną z wierzchołka D, mając dane: AB = x + 2y + z, AC = 2x + 5y + 4z, AD = 3x + 3y + 5z i wiedząc, że wektory x, y, z są jednostkowe i wzajemnie prostopadłe." Jak powinienem się do tego w ogóle zabrać?

...: Półproste AB i AC wyznaczają płaszczyznę Do policzenia masz odległość punktu D od tej płaszczyzny

Awgwa: Najpierw liczyłem objętość a potem potem pole podstawy i podstawiałem do wzoru V = 1/3Pp * h, czy to zła metoda?

...: ... uparłeś się przez Poznań ?−

marikacz: Dobrze kombinujesz, też miałam problem z tym zadaniem, ale w końcu wyszło. Najpierw liczysz objętość, czyli V=1/6|AB*(AC X AD)| czyli: 1) AC X AD = (2x+5y+4z) X (3x+3y+5z)=−9xXy−2xXz+13yXz 2)AB*|AC X AD| = (x+2y+z)*(−9xXy−2xXz+13yXz)=13x*(yXz)−4y*(xXz)−9z*(xXy) zgodnie z własnością dopasowujesz znaki, czyli 13x*(yXz)+4x*(yXz)−9x*(yXz)=8x*(yXz) 3) Jako, że wektory x, y, z są wzajemnie jednostkowe i wzajemnie prostopadłe, to wyrażenie x*(yXz)=1 4) V = 1/6 * 8 = 4/3 5) Teraz przechodzisz do liczenia pola podstawy, czyli P=1/2|AB X AC| 6) Mnożysz wektorowo AB X AC = (x+2y+z) X (2x+5y+4z) pamiętając o własnościach, czyli: =5xXy + 4xXz + 4yXx + 8yXz + 2zXx + 5zXy, zmieniasz znaki: =5xXy −4xXy +4xXz − 2xXz + 8yXz − 5yXz = xXy + 2xXz + 3yXz nie wiemy, jakie zwroty mają te wektory, wiemy tylko, że są prostopadłe, możemy skorzystać z reguły prawej dłoni, ale bez określenia znaków, więc: AB X AC = +/−z +/−2y +/−3x 7) To jest moim zdaniem najtrudniejszy moment, bo trzeba sobie uświadomić, że liczymy długość wyżej wymienionego wektora. Długość wektora liczymy ze wzoru |a| = √a*a, naszym "a" jest w tym momencie całe wyrażenie AB X AC, podstawiając mamy: √(+/−z +/−2y +/−3x)* (+/−z +/−2y +/−3x) mnożymy ten sam wektor przez siebie, więc nie może być tak, że w jednym nawiasie przy jednym parametrze jest + a w drugim nawiasie jest −, więc wynik wyjdzie nam dodatni Nadal pamiętamy o relacjach, że wektory są wzajemnie prostopadłe, czyli korzystając ze wzoru na prostopadłość wektorów mnożonych skalarnie a*b=0, więc nasze działanie bardzo się upraszcza, = √|z|² + 4|y|² + 9|z|² pamiętamy, że długości wektorów |x|, |y|, |z| = 1, więc długość wektora = √14 8. Podstawiamy wynik pod wzór pola, wynik to √14/2 9. Wzór objętości z uwzględnieniem wysokości to V=1/3Pp*h Przekształcamy wzór i mamy: h = 3V/Pp Podstawiamy: 3*4/3 *2/√14, liczymy, upraszczamy i wychodzi nam wynik 4√14/7