adanko zela: Wykaż, że dla każdej liczby całkowitej n liczba n³ + 5n jest podzielna przez 6. z góry dzieki

Trivial: Arytmetyka modulo 6. n 0 1 2 3 4 5 n³+5n 0 6 18 42 84 150 (mod 6) 0 0 0 0 0 0 Same zera → koniec dowodu.

zela: a tak żebym zrozumiała?

Meister: a znasz kongruencje?

zela: nie...

ICSP: n³ + 5n = n³ − n + 6n = (n−1) * n * (n+1) + 6n Dopisz komentarz.

Wazyl: Indukcyjnie: Spr: 1³+5*1=6 ok zał: n³+5n=6k ; k∊N (n+1)³+5(n+1)= n³+3n²+3n+1+5n+5=(n³+5n)+3n²+3n+6=6k+3(n²+n+2) Wystarczy pokazać że n²+n+2 jest podzielne przez 2: n(n+1)+2 Iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez 2. Suma dwóch liczb parzystych jest parzysta. Więc n²+n+2=2m ; m∊N Ostatecznie: (n+1)³+5(n+1)=6(k+m) cnw

Mila: n³+5n=n(n²+5)=n*[(n²−1)+6]= =n*(n²−1)+6n= =n(n−1)*(n+1)+6n wyrażenie jest podzielne przez 6 jako suma dwóch składnków podzielnych przez 6. (n−1)*n*(n+1) iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 6.

zela: dziekuję

Meister: (mod 6) mówi nam, że sprawdzamy jaką resztę z dzielenia przez 6 daje jakaś liczba. bierzemy różne n. W pierwszej kolumnie takie, które jest podzielne przez 6, co w kwestii zadania nie ma sensu bo jak wyciągniemy n przed nawias to widać, że jak n jest podzielne przez 6, to cała liczba jest podzielna przez 6. następnie bierzemy takie n, że jego reszta z dzielenia przez 6 daje 1 (druga kolumna) i zauważamy, że wtedy n³ będzie dawało resztę 1 z dzielenia przez 6, a n³+5n będzie dawało resztę 1+5*1 = 6, czyli reszta tego wyrażenia będzie podzielna przez zatem wyrażenie będzie podzielne przez 6. W trzeciej kolumnie podobnie. bierzemy n ≡2 (mod 6) (czytaj n przystaje do 2 modulo 6), co oznacza, że n daje resztę dwa przy dzieleniu przez 6. Potem korzystamy z pewnych własności kongruencji i zatem n³ ≡ 2³ (mod 6) i dalej n³+5n ≡ 2³ + 5*2 (mod 6), czyli n³+5n ≡ 18 ≡ 0 (mod 6), bo 18 daje resztę 0 przy dzieleniu przez 6, czyli znowu n³+5n jest podzielne przez 6. Dalej chyba rozkminisz sama. Powodzenia

Meister: Wazyl: zauważ, że mieliśmy wykazać dla całkowitych, a indukcja działa na naturalnych

Wazyl: Prawda nie doczytałem.

Wazyl: http://forum.zadania.info/viewtopic.php?f=46&t=58928