zadanko Saizou : Uzasadnij, że dla każdej liczby naturalnej nieparzystej k liczba k³−k jest podzielna przez 24. i jak chciałbym to zrobić indukcyjnie to −dla k=1 1−1=0 − dla k=n n³−n=24t − dla k=n+1 (k−1)k(k+1)= n(n+1)(n+2)= n(n+1)(n−1+3)= (n−1)n(n+1)+3n(n+1)= 24t+3n(n+1) i co dalej z tym jakaś podpowiedź ?

wredulus_pospolitus: k=n+1 NIE JEST liczbą nieparzystą, jeżeli k=n jest liczba nieparzystą błąd w rozumowaniu

Saizou : to da się to zrobić z indukcji ?

Saizou : czyli by trzeba dowodzić dla k=n+2

Marcin: Musisz koniecznie z indukcji?

Saizou : nie muszę, ogólnie to wiem jak to zrobić, tylko chciałem tą metodą

Marcin: Domyśliłem się że wiesz

Marcin: Ambitny, albo ciekawski jesteś

Saizou : raczej ciekawski

Saizou : up

Wazyl: Saizu Nie wykorzystałeś że jest tak dla każdej liczby nieparzystej

Saizou : czyli że jak ?

Wazyl: wredulus to juz napisał. Sorki.

Saizou : czyli muszę pokazać to dla k=n+2 tak ? czy coś mylę ?

Wazyl: Nie wiem dokładnie. Ja także nie jestem studentem, ale indukcji często używam w zadaniach konkursowych i na lidze.Przeszukałem internet ale nie znalazłem czy istnieje coś takiego żeby udowodnić tylko dla liczb nieparzystych. Jak coś wymyśle to napiszę.

Saizou : bo innym sposobem to wiem jak udowodnić , ale ciekawi mnie indukcja

Wazyl: Ja próbowałem tak: zał: (2n−1)(4n²−4n)=24t ; t,n ∊N 8n³−9n²+4n=24t (2n+1)(4n²+4n+2)=8n³+12n²+8n+2= 24t+21n²+4n+2= dalej pauza. Nie wiem nawet czy jakby coś wyszło mógłbym to podpiąć pod indukcję. Trzeba by na to spojrzał ktoś mądrzejszy

Wazyl: Wiem, jest to zadanie z maturki. Zdziwiłem się że takie dali bo bardziej przypominało mi ligę matematyczną gimnazjalną niż maturę. Chociaż co ja tam wiem ...

Saizou : dzięki wielkie i wiesz dużo więcej niż ja

Wazyl: Źle wymnożyłem (2n−1)((2n−1)²−1)=(2n−1)(4n²−4n)=8n³−12n²+4n=24t (2n+1)((2n+1)²−1)=(2n+1)(4n²+4n)=8n³+12n²+4n= 24t+24n²=24(t+n²)

Wazyl: Ale powtarzam Saizu nie wiem czy komentarz : równanie zachodzi dla każdej liczby nieparzystej na mocy indukcji jest poprawny! Miałem pomysł do 16.50 żeby znowu indukcyjnie wykazać że 21n²+4n+2 jest podzielne przez 24 dla każdej n∊N ale podstawiając 1 wyszło mi 27

Wazyl: A jak interesuje Cię indukcja mam dla Ciebie zadanie: Wykaż, że dla każdego rzeczywistego x≥−1 i dla każdego liczby naturalnej n prawdziwa jest nierówność : (1+x)ⁿ≥1+nx Nierówność Bernoliego

Saizou : indukcja w tym zadaniu

ICSP: (2n−1)³ − (2n−1) = 24k gdzie k ∊ Z 1^o Sprawdzenie dla n = 1 1³ − 1 = 0 = 24 * 0 , k = 0 ∊ Z 2^o Z : (2n−1)³ − (2n−1) = 24k₁ gdzie k₁ ∊ Z 3^o T : (2n+1)³ − (2n+1) = 24k₂ gdzie k₂ ∊ Z Dowód L = (2n+1)³ − (2n+1) = (2n−1)³ + 6(2n−1)² + 12(2n −1) + 8 − (2n+1) = = (2n−1)³ −(2n − 1) + 6[(2n−1)(2n+1) + 1] = 24k₁ + 6 * (4n² − 1 + 1) = = 24k₂ gdzie k₂ = k₁ + n² ∊ Z

Saizou : thx xd

Wazyl: ICSP masz jeszcze jakieś fajne zadanie z indukcji?

Trivial: Bez indukcji: (k = 2n+1) k³ − k = (k−1)k(k+1) = (2n)(2n+1)(2n+2) = 4[n(2n+1)(n+1)] Teraz wystarczy pokazać, że dla każdego n wyrażenie n(2n+1)(n+1) dzieli się przez 2 i 3. Wykorzystamy arytmetykę modulo 2 i 3 − oczekujemy samych zer. n 0 1 2 n(2n+1)(n+1) 0 6 30 (mod 2) 0 0 0 (mod 3) 0 0 0 Zatem OK.

Trivial: Saizou, czy sposób się podoba?

ICSP: coś bym znalazł

Saizou : jak najbardziej