Pochodne Daniel: Hej! Bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu zadania: Zbadać wypukłość, wklęsłość i punkty przegięcia funkcji: f(x)=x² lnx Na razie obliczyłem tyle: f'(x)=2xlnx+x f''(x)=2lnx+3 I teraz trzeba rozwiązać nierówność f''(x)>0 żeby była wypukła? Prosiłbym o rowiązanie tej nierówności, bo coś mi nie wychodzi.

fx: 2lnx + 3 > 0 ⇔ 2lnx > −3 ⇔e^2lnx > e⁻³ ... Dalej Ty.

Daniel: No i właśnie co dalej? Nie mam pojęcia

Daniel: Bardzo proszę o pomoc.

Daniel: A nie ma wyjść, że x<e^−3/2 ?

fx: Korzystając ze znanych własności: A^log_Ax = x e^2lnx > e⁻³ x² > e⁻³ x² − e⁻³ > 0 Korzystasz z a² − b² = (a−b)(a+b) i otrzymujesz x > ±e^−3/2 Uwzględniając dziedzinę wyrażenia wykluczasz ujemne rozwiązanie o otrzymujesz x > e^−3/2.

Daniel: Czyli funkcja f jest wypukła na jakim przedziale? (0, e^−3/2) ?

fx: Z obliczeń wynika, że dla x> e{−3/2} czyli na przedziale (e^−3/2; +∞)

Daniel: A na tym przedziale, który podałeś nie ma być przypadkiem wklęsła?

Daniel: a jak obliczyć punkt przegięcia?

fx: Kwestia przyjętej konwencji − ja uznaję, że f''_x > 0: ∪; f''_x < 0 ∩ jak dany kształt nazwiesz to już Twoja sprawa, ważne aby być konsekwentnym.

Daniel: Aha, ok.

fx: Trochę niefortunnie napisałem, ja tego nie uznaję, tak jest . Za to czy ∪ nazwiesz wklęsłym czy wypukłym to kwestia przyjętej konwencji.

Daniel: Ok rozumiem

Daniel: Punkt przegięcia mi wyszedł taki: f(e^−3/2)= e^−3/2 lne^−3/2. Jak to teraz dalej uproscić? I czy to w ogóle jest dobrze?

Daniel: Bardzo bym prosił o pomoc jeszcze z tym punktem przegięcia.

fx: lne^x = x bo ze znanej własności log_ab^c = clog_ab

fx: e^−3/2lne^−3/2 = e^−3/2*e^−3/2 = ....

Daniel: Ok już wszystko wiem. Bardzo dziękuję za pomoc