analityczna Radek: Punkty A = (− 2,0) i B = (8,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB i polu równym 15. Oblicz współrzędne punktu C proszę o jakieś naprowadzenie

...: ... pole .... to podstawa razy wysokość Twoja wysokość to odległość punktu C od prostej przechodzącej przez A i B

Radek: mam AB=10

...: ... a można C=(x_c, y_c) policzyć |AC| i |BC| i z nich pole Pitagorasek też może pomóc

Radek: ?

Mila:

	1
PΔ=		*10*h
	2

h=?

Marcin: C=(x,y) Policz odległość C od A Policz odległość C od B Następnie wykorzystaj twierdzenie pitagorasa (przeciwprostokątna =10)

Mila: Radek?

Mila: No to dobranoc

Radek: Może Pani jeszcze chwilkę zostać

Radek: h=3

Mila: Podpowiedź: C leży na prostej y=3 ⇔ma wsp. C=(c,3) albo C C leży na prostej y=−3 ⇔ma wsp. C=(c,−3) 1) Tw. Pitagorasa albo 2) Wykorzystaj tw. kąt wpisany w okrąg oparty na średnicy jest prosty.

Radek: Czemu Pani korzysta akurat z okręgu ?

Mila: ∡C=90^o jako wpisany oparty na średnicy.

Radek: No tak ale czemu akurat z tego warunku Pani korzysta, ja nie mam w zadaniu okręgu

Mila: To go narysuj. Przecież w zadaniach geometrycznych rysujemy linie pomocnicze, okrąg też może być linią pomocniczą.

Radek: No tak ale czy nie można np z twierdzenia pitagorasa ?

Marcin: Można. Przecież MIla Ci to napisała

Mila: Radek, pierwszy sposób podałam z tw. Pitagorasa, potem napisałam albo. Ciągle boisz się innych sposobów. Z Pitagorasa będziesz miał sporo liczenia. Policz z tw. Pitagorasa, a potem skorzystaj z mojego sposobu. Umiesz przecież napisać równanie okręgu o środku (3,0) i r=5. Nie bój się okręgi nie gryzą.

Mila: 3) sposób najprostszy: Wektory CA^→⊥CB^→

Radek: Wychodzą dwa rozwiązania ?

Marcin: Tak, tak

Mila: 4 rozwiązania. Napisz jakie?

Marcin: Fakt. Wybacz to wprowadzenie w błąd

Radek: (−1.3) (8,3)

Marcin: Ja mam (−1;3) i (7,3) Teraz jeszcze rozwiązania z y=−3

Mila: h_Δ=3 S=(3,0) (x−3)²+y²=25 y=3 lub y=−3 (x−3)²+9=25⇔(x−3)²=16⇔ x−3=4 lub x−3=−4 x=7 lub x=−1 C₁=(−1,3) C₂=(7,3) C₃=(−1,−3) C₄=(7,−3)

Radek: Dziękuję ale mam jeszcze pytania: 1. Czy sposób z kręgiem zawsze działa dla trójkąta prostokątnego ? 2. Co w wypadku czworokąta ?

Mila: Radek, tu wyraźnie podano, że masz daną przeciwprostokątną i szukasz przyprostokątnych. W tym zadaniu często uczniowie popełniają błąd. Nie wiem jakie zadanie z czworokątem masz na myśli. Jak to w końcu zrobiłeś?

Radek: Tym sposobem który podała Pani. Ale chodzi mi o zadania typu, w treści jest podane, że jest to trójkat prostokątny i mam dwa punkt i trzeba znaleźć 3 wierzchołek 2.Współrzędne przeciwległych wierzchołków prostokąta ABCD są równe A = (5,− 3), C = (− 7,1) . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków prostokąta wiedząc, że wierzchołek B leży na prostej y = 5

Mila: Też tak można. S − środek AC Spróbuj tutaj z tw. Pitagorasa AC²=AB²+CB² B(x, 5) Zapisz tu obliczenia, abym widziała, jak to rozwiązujesz. Już policzyłam.

Radek: robię tak współczynnik AC prosta prostopadła , do prostej AC i przez punkt A y=3x−18 prosta prostopadła do AC i przez punkt C y=3x+22 przecięcie się prostej y=3x−18 i y=5 prosta równoległa do prostej AC i mam wszystkie punkty Wychodzi jedna para rozwiązań

Mila: To niestety źle robisz . Popełniasz ten błąd o którym pisałam. Przecież nie jest Ci potrzebna prosopadła do przekątnej! Spróbuj tutaj z tw. Pitagorasa tak: (narysuj sobie to na kartce, odręcznie zaznacz punkt B, abyś miał kąt prosty ABC) |AC|²=|AB|²+|CB|² B(x, 5)

Mila: Jakie masz punkty ?

Radek: B=(1,5) D=(1,6)

Mila: Zaznacz swoje punkty w układzie i sprawdź , czy AC jest przekątną.

Radek: Właśnie widzę, że mam błąd. Ja nigdy nie wiem kiedy są dwa rozwiązania w takich konstrukcjach albo więcej nawet czasami ?

Marcin: Ale Radku B masz chyba dobrze. Tylko że jeszcze powinieneś mieć jeden punkt (−3;5) (dla B) I z tego jeszcze dwa razy D. O ile się nie mylę oczywiście..

Mila: I sposób. |AC|=√4²+12²=√16+144=√160=4√10

	−7+5		1−3
S=(		,		)=(−1,−1)
	2		2

"Kreślę" okrąg (x+1)²+(y+1)²=(2√19)² otrzymuję dwa punkty przecięcia z prostą y=5 podstawiam (x+1)²+6²=4*10 (x+1)²=4 x+1=2 lub x+1 =−2 x=1 lub x=−3 B₁=(−3,5) lub B₂=(1,5) szukamy D₁ ,D₂ jako punktów symetrycznych względem S

	−3+xd
−1=		⇔xd=1
	2

	5+yd
−1=		⇔yd=−7
	2

D₁=(1,−7) Oblicz D₂

Radek: D₂ = (− 3,− 7) Tylko teraz mam prostokąt a Pani kreśli też na okręgu ?

Mila: II sposób ( to zadanie takim sposobem może lepiej) − tak Ci radziłam, nie posłuchałeś. Z tw. Pitagorasa (kąt prosty w wierzchołku B) |AC|²=|AB|²+|CB|² B(x, 5) AC²=160 (x−5)²+(5+3)²+(x+7)²+(5−1)²=160 z tego masz: x²+2x−3=0 x=−3 lub x=1 B₁=(−3,5) B₂=(1,5) teraz wyznaczasz punkty D₁ i D₂ jako symetryczne względem punktu przecięcia przekątnych.

Marcin: Bo to kwadrat wyszedł

Radek: Ale ja nadal nie rozumiem czemu tw pitago skoro mam prostokąt?

Mila:

Radek: Dobrze postaram się to zrozumieć a teraz mam trudniejsze wgl nie wiem jak zacząć nawet Punkt A = (3,1),B = (7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD . Wyznacz współrzędne pozostałych wierzchołków tego kwadratu. policzyłem długość odcinka AB i teraz będą dwie proste równoległe odalone od prostej AB o długość odcinka AB ?

Mila: Teraz rąbiesz prostopadłe do AB w końcach odcinka . Potem pomyśl. wszystkie boki równe.

Marcin: Liczysz równanie AB później wyznaczasz równanie prostopadłej, przechodzącej przez jeden z punktów np. (3,1) później liczysz podstawiasz do wzoru na długość odcinka i masz dwa wyniki Później to samo w drugim punktem. Wybacz że się wtrącam, ale też się uczę i czasem staram się pomóc

Radek: Proste prostopadłe do prostej AB ok a co dalej ?

Eta: Najprostszy sposób : wektorami ( szkoda,że nie chcesz się o nich pouczyć)

Mila: Właśnie to samo mówię. Wektory bardzo użyteczne. Pozdrawiam Eta. Wieje u Ciebie?

Eta: Witam Mila wieje i to bardzo

Radek: Wiem, że wektory pożyteczne ale ja ich wgl nie umiem, nie chcę sotosować bo się pomylę i zadania nie zrobię

Mila: No to co zrobiłeś. Napisz te 3 proste.

Radek: prosta AB y=0,5x−0,5 y=−2x+15 y=−2x+7

Marcin: |AB|=√20 Teraz masz punkty A=(1,3) D=(x,−2x+7) Długość AD to przecież też √20 (podstaw do wzoru)

Radek: A no tak już sobie poradzę, dziękuję. Jeszcze zostały mi tylko 5 zadań których nie umiem

Marcin: Tego typu? Podawaj treści. Chętnie sam poćwiczę

Radek: Inny typ.

Radek: y=−2x+17 taka powinna być

Marcin: No inny typ też może być Tak z ciekawości. Dużo czasu dziennie spędzasz na nauce matmy? (dość często Cię tu widzę ) W tym zadaniu które przed chwilą robiłeś bardzo ładne wyniki wychodzą. Ja ogólnie sobie najpierw rysuje, a później tylko sprawdzam wyniki

Radek: Ja uczę się tylko matematyki i angielskiego. Oceny już dawno z innych przedmiotów mam wystawione. Staram się robić 50 zadań dziennie i kilka arkuszy jak pozwoli czas.

Radek: Rozważamy prostokąty, których dwa wierzchołki leżą na odcinku łączącym punkty wspólne osi Ox i paraboli o równaniu y = x² − 6x + 5 , a dwa należą do tej paraboli. Wyznacz współrzędne wierzchołków tego prostokąta, który ma największy obwód.

Mila: Punkty A = (3,1),B = (7,3) są kolejnymi wierzchołkami kwadratu ABCD' |AB|=√4²+2²=√20 Prosta AB: y=ax+b 1=3a+b 3=7a+b −2=−4a

	1
a=
	2

	1
y=		x+b
	2

prosta BC: y=−2x+b, 3=−2*7+b, b=17 y=−2x+17 C=(x, −2x+17) |BC|=√x−7)²+(−2x+17−3)²=√20⇔√x−7)²+(−2x+14)²=√20 |BC|²=x²−14x+49+4x²−56x+196=20 5x²−70x+225=0/:5 x²−14x+45=0 licz dalej

Radek: Też z tego liczyłem i mam takie rozwiązania C = (5,7),D = (1,5) lub C = (9,− 1),D = (5,− 3) ?

Mila: No to nie wiem , pomagać , czy nie.

Mila: Dobrze.

Radek: Zanim Pani napisała skorzystałem z wskazówki Marcina. A to moje ostatnie zadanie ?

Radek: ?

Marcin: Ciekawe zadanie. Musisz doprowadzić zapewne do funkcji kwadratowej i zbadać jej minimum. Ale teraz muszę iść spać, bo jutro próbna matura z angielskiego

Radek: Dziękuję i dobranoc

Marcin: Jeszcze mam tylko jedno pytanie. Skąd Ty bierzesz te zadania i arkusze?

Radek: Dostaje od Pani i z książki Pazdro również a co ?

Marcin: Też by mi się przydały jakieś nowe zadania Myślałem że masz to gdzieś na internecie

Mila: Rysujesz parabolę. ( umiesz?) y = x² − 6x + 5 =(x−3)²−4 x_w=3 y_w=−4 x=1 lub x=5 Zadanie bardzo pokrętnie podane. Chodzi o to, że D i C leżą między miejscami zerowymi.? OBw=2*|AB|+2*|BC| D=(xd,0) i C=(x_c,0) x_w jest środkiem DC, osią symetrii paraboli jest prosta x=3

	xd+xc
3=
	2

x_c=6−x_d |DC|=|AB|=x_c−x_d=6−2x_d Próbuj dalej A=(x_d, x_d²−6x_d+5)

Radek: Aż takim ... nie jestem żeby paraboli nie umieć narysować.. Podałem treść prosto z arkusza.

Mila: Nie do Ciebie, ale do autora mam pretensje. |AD|=?

Radek: Nie wiem tutaj nic ?

Mila: To już jutro wyjaśnimy. Poczytaj co napisałam i zapisz sobie na kartce. Dobranoc

Radek: Dziękuję, dobranoc.