Podkarpacki Konkurs Matematyczny XIV. Poziom I.
koks: Zadania z rejonowego etapou XIV Podkarpackiego Konkursu Matematycznego im. Franciszka Leji
poziom I
1) Przez punkt A leżący na okręgu o środku O poprowadzono styczną l oraz cięciwę AB o długości
12. Obliczyć stosunek pola trójkąta BOC do pola czworokąta OBAC, jeżeli BC jest cięciwą tego
okręgu równoległą do prostej l, poprowadzoną między prostą l, a środkiem okręgu, odległą od
prostej l o 4.
| | 9x | |
2) Dane jest wyrażenie w(x) = |
| , gdzie x jest dowolną liczbą rzeczywistą. |
| | 9x +3 | |
Udowodnij, że
w(a) + w(1−a) = 1, dla dowolnych a rzeczywistych. (X w mianowniku ułamka jest wykładnikiem
potęgi, chociaż zbytnio nie wygląda)
3) Pole i obwód trójkąta prostokątnego mają równe wartości liczbowe, a długości wszystkich jego
boków są liczbami naturalnymi. Obliczyć długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt oraz
długości jego boków.
4) Uporządkować rosnąco liczny x, y, z, jeśli:
NIestety latex jest niedoskonały, więc muszę posiłkować się tą grafiką:
http://i.imgur.com/ctkrkLx.png
5) Jacek i Wojtek mieszkają w miejscowościach A i B leżących przy tej samej szosie, w
odległości 18 km. Chłopcy wyruszają jednocześnie, jeden z miejscowości A, drugi z miejscowości
B, idąc każdy ze stałą prędkością. Gdyby obaj szli naprzeciw siebie, to spotkaliby się po 3
godzinach marszu. Gdyby obaj wyruszyli ze swoich miejscowości i poruszali się w tym samym
kierunku, to po upływie 3 godzin odległość między nimi wynosiłaby 15 km. Z jaką prędkością
idzie każdy z chłopców.
Proszę łaskawe osoby o odpowiedzi do każdego z zadań. ;> Niekoniecznie o całe rowiązania
