KOKOKO zombi: Wyznacz x: (1+tg1^o)(1+tg2^o)...(1+tg45^o) = (√2)^x oraz coś takiego: Udowodnij podwójną nierówność zał. a,b,c>1 1 < log_aba + log_bcb + log_acc < 2 Konkursowe jakieś.

zawodus: To nie wiesz skąd je masz?

zombi: Ja wiem, ale czy to ważne?

Trivial: Drugie zadanko bardzo przyjemne. Polecam.

zombi: Mi nie wyszło przerabiałem na podstawę abc i wychodziło coś w stylu

	1−x		1−z		1−y
1 <		+		+		< 2 gdzie x,y,z to logi odpowiednio logabcbc,
	y		y		x

log_abc, ac, log_abcab

Trivial: Ja mam taki sposób. a,b,c > 1 z = log_aba + log_bcb + log_cac

	1		1		1
=		+		+
	1 + logab		1 + logbc		1 + logca

	1		1		1
=		+		+
	1 + logab		1 + logbc		1 + logca

Zauważmy, że funkcja z jest symetryczna względem a,b,c. Zatem bez straty ogólności można założyć: 1 < a ≤ b ≤ c < ∞. Podstawiając x = log_ab ⇒ x ≥ 1 y = log_bc ⇒ y ≥ 1 Mamy:

	1
		= logca
	xy

Zatem:

1

1

xy

1

1

1

z =

+

+

= 1 +

+

−

1+x

1+y

1+xy

1+x

1+y

1+xy

	2 + (x+y)		1
= 1 +		−
	1 + (x+y) + xy		1 + xy

Kolejne podstawienie: u = x + y ⇒ u ≥ 2 v = xy ⇒ v ≥ 1 Daje:

	2+u		1		2+2v+u+uv − 1−u−v
z = 1 +		−		= 1 +
	1+u+v		1+v		(1+u+v)(1+v)

	1+v+uv		1+v+uv
= 1 +		= 1 +		.
	(1+u+v)(1+v)		1+v+uv + (v2+v+u)

Skąd odczytujemy: 1 < z < 2. Hmm... Ciekawe czy istnieje bardziej elegancki sposób.

Trivial: Przekombinowałem. z nie jest symetryczne, czyli nie można założyć 1 < a ≤ b ≤ c < ∞ Ale okazuje się, że to założenie w ogóle nie jest potrzebne. Bez niego mamy: x = log_ab ⇒ x > 0 u = x+y ⇒ u > 0 y = log_bc ⇒ y > 0 v = xy ⇒ v > 0 I wszystko działa.

zombi: Pewnie jakiś Jensen czy inny kozak tu działa ale nie wpadłem na drugie podstawienie. W sumie to harde zadanie. To pierwsze też jest szurnięte bo z AM−GM mamy (1+tg1^o)(1+tg2^o)...(1+tg45^o) ≥ 2⁴⁵ √tg1^otg2^o...tg⁴5 i nie wiem jak to ograniczyć z góry z i z dołu

zombi: .

Godzio: Pomyślę, bo wygląda na fajne zadanie

zombi: A podbije jeszcze może ktoś się zmierzy.

Trivial: Nie próbowałem rozwiązywać tego zadanka z tangensami, ale wygląda na nudnawe.