wykaż że Loka: Proszę o wskazówki/rady Wykaż, że prawdziwa jest równość ³√9+√80+³√9−√80=3

Loka: Proszę

PW: Typowe „maturalne”. Jest kilka ładnych sposobów rozwiązania. Mnie podoba się taki: − zauważyć, że jeden ze składników jest odwrotnością drugiego:

	(9−√80)(9+√80)
9−√80 =		=
	9+√80

	92−(√80)2		1
=		=		,
	9+√80		9+√80

a więc

	1
3√9−√80 =		,
	3√9+√80

czyli mamy do czynienia z równaniem

	1
t +		= 3, t = 3√9+√80 > 2
	t

t²−3t+1 = 0, t > 2. Rozwiązaniem tego równania jest

	3+√5
(1) t =		.
	2

Jedyna trudność to pokazanie, że rzeczywiście liczba (1) to ³√9+√80. Można to zrobić podnosząc obie do potęgi trzeciej:

	3+√5		3+√5
		= 3√9+√80 ⇔ (		)3 = 9+√80.
	2		2

Są łatwiejsze sposoby też.

Mila: To bardzo ładny sposób. Pozdrawiam.

bezendu: https://matematykaszkolna.pl/forum/forum.py?komentarzdo=3921

Loka: Rzeczywiście, nie najłatwiejszy sposób,ale rozumiem go. Tylko nie wiem czy wpadnę na niego w przyszłości

PW: Mila, bezendu nawet nie wiedziałem, że jest to rozwiązane jako zadanie wzorcowe.

PW: Loka, wpadniesz, wpadniesz. One wszystkie prawie są "na jedno kopyta".

PW: kopyto

jerey: to jest na PP czy PR?

pigor: ..., a może ... tak : niech ³√9+√80+³√9−√80= x / 3 ⇔ ⇔ 9+√80+3(³√9+√80)^{2 3}√9−√80+ 3³√9+√80 (³√9+√80)²+9−√80=x³ ⇔ ⇔ 3³√9+√80* ³√9−√80 (³√9+√80+ ³√9+√80)= x³−18 ⇔ ⇔ 3³√81−80 *x= x3−18 ⇔ 3³√1x= x³−18 ⇔ x³−3x−18= 0 ⇔ ⇔ x³−3x²+3x²−9x+6x−18= 0 ⇔ x²(x−3)+3x(x−3)+6(x−2)= 0 ⇔ ⇔ (x−3)(x²+3x+6)= 0 ⇔ x=3 c.n.w. . ...