planimetria Jan111: Wykaż że jeśli długości boków trójkąta są trzema kolejnymi wyrazami ciągu arytmetycznego to długość promienia okręgu wpisanego w ten trójkąt jest równa jednej trzeciej długości jednej z wysokości tego trójkąta.

PW: Niech boki trójkąta maja długości a−r, a, a+r, zgodnie z treścią zadania (zakładamy a−r > 0 i a > 0 i a+r > 0). Wiadomo, że pole S trójkąta wyraża się wzorem

	1
S =		r(a−r+a+a+r),
	2

gdzie r oznacza promień okręgu wpisanego.

	3
(1) S =		ar.
	2

Jednocześnie − jeżeli symbolem h oznaczyć długość wysokości opuszczonej na bok a, to

	1
(2) S =		ah.
	2

Przyrównanie prawych stron (1) i (2) daje odpowiedź.

PW: Aj, wpadłem w pułapkę standardowych oznaczeń i popełniłem podstawowy błąd: oznaczyłem tą samą literą r różnicę ciągu arytmetycznego i promień okręgu wpisanego. Tak nie wolno. Powinno być np. Niech boki trójkąta mają długości a−r₁, a, a+r₁, zgodnie z treścią zadania (zakładamy a−r₁ > 0 i a > 0 i a+r₁ > 0). Wiadomo, że pole S trójkąta wyraża się wzorem

	1
(1) S =		r(a−r1+a+a+r1),
	2

dalej już dobrze (na szczęście różnica ciągu arytmetycznego r₁ redukuje się i nie ma wpływu na wynik).