d Radek: Udowodnij, że suma sześcianów trzech kolejnych liczb naturalnych jest podzielna przez 9. doszedłem do tego 3n³+6n i dalej nie wiem co. Zadania z matury OKE poznań

Mila: Podpowiedź. =9n³−6n³+6n

Radek: 3n(3n²−2n²+6) to mi nic nie dało ?

Mila: 9n³ zostaw, bo dzieli się przez 9, z reszty wyłącz (−6n).

Radek: 9n³−6n(n²−1) 9n³−6n(n−1)(n+1)

Mila: No i...co widzisz?

Radek: iloczyn 3 kolejnych liczb całkowitych

zawodus: 3n³+6n=3n(n²+2) jeśli n dzieli się przez 3 to koniec jeśli n nie dzieli się przez 3, to daje reszty 1 lub 2 wtedy n=3k+1 lub n=3k+2 liczymy n²+2 (3k+1)²+2=9k²+6k+3 − dzieli się (3k+2)²+2=9k²+12k+6 − dzieli się ckd. oczywiście tę część

Radek: Zawodus wole kontynuować swoje rozwiązanie

Radek: Iloczyn 3 kolejnych liczb i co dalej ?

Mila: cd. 18:48 Iloczyn trzech kolejnych liczb całkowitych jest podzielny przez 3. 9n³−6n(n−1)(n+1)=9n³−2*3*(n−1)*n*(n+1) jest podzielne przez 9 jako suma dwóch składników podzielnych przez 9.

zawodus: Proszę bardzo Mila dała ci szybki sposób, ale czy sam byś go wykombinował? Raczej nie Natomiast lata praktyki pozwalają zauważać Mili pewne wyrażenia.

Radek: Jako suma dwóch składników ?

zawodus: tak

Mila: 9n³ podzielne przez 9, pierwszy składnik +(−2*3*(n−1)*n*(n+1) , drugi składnik możesz napisać różnica.

Mila: Przejrzyj sposób Zawodusa, jest uniwersalny i przydatny w wielu dowodach.

Radek: czyli wystarczyło pokazać, że ten drugi składnik jest podzielny przez 3 ?

zawodus: tak dlatego, że suma i różnica dwóch liczb podzielnych przez k nadal jest podzielna przez k (np 9)

Mila: Tak, bo iloczyn: 6*(liczba podzielna przez 3) jest podzielny przez 9.

Aerodynamiczny: skąd wiadomo że się dzieli przez 9? (3k+1)²+2=9k²+6k+3 − dzieli się (3k+2)²+2=9k²+12k+6 − dzieli się

zawodus: Aerodynamiczny ja pokazuje, że n(n²+2) dzieli się przez 3.

Aerodynamiczny: No tak

Radek: Dziękuję

Radek: Liczby naturalne dodatnie a ,b ,c spełniają równanie a² + b² = c² . Uzasadnij, że liczba abc jest parzysta; ?

Piotr 10: ja bym wyszedł od tego, że trójkąt o takich bokach to trojkat prostokatny

Radek: wiem, że to twierdzenie pitagorasa

Piotr 10: potem możesz tw. sinusów zastosować

Piotr 10: no to teraz jeśli iloczyn ma być parzysty to musi być podzielny przez 2, i pomyśl teraz

zawodus: po co tw. sinusów?

Piotr 10: a nie wiem, z tw. sinusów też można bo od razu '2' otrzymujemy xd i po sprawie

Mila: rozważ przypadki: 1)a, b− parzyste⇒c parzyste⇔iloczyn a*b*c jest parzysty 2) a,b − nieparzyste⇒..... 3)a parzysta, b − nieparzysta⇒....

Radek: 2) iloczyn nieparzysty 3 iloczyn parzysty

Mila: 2) źle, jaka jest suma kwadratów dwóch liczb nieparzystch? (5²+3²=?)

Radek: parzyste

Mila: To zapisz odpowiednio (2) i (3) tak jak Ci pokazałam w (1)

Radek: a,b, nieparzyste⇒c parzyste iloczyn parzyst a parzysta, b nieparzysta⇒c nieparzyste iloczyn parzysty

Mila: Dobrze. Trzeba pisać iloczyn (a*b*c) ...

Radek: A nie trzeba rozważać sytuacji a nieparzyste b−parzyste ? Niby to samo ?

Mila: Możesz, lepiej zapisać: jedna z liczb a i b jest nieparzysta, a druga parzysta.

Vax: Ale po co rozpatrywać te wszystkie przypadki, skoro wystarczy przypadek w którym wszystkie a,b,c są nieparzyste. Jeżeli którakolwiek z nich jest parzysta to teza zachodzi.

Radek: Dziękuję Pani

Radek: a jeszcze podpunkt b) podzielne przez 3 ?

Mila: Wszystkie trzy nie mogą być nieparzyste i takiego nie rozpatrywaliśmy. Radek lepiej rozumie taki szczegółowy zapis.

Vax: No nie mogą być, ale to (i tylko to) trzeba pokazać. Teza mówi nam o tym, że jeżeli a²+b² = c² to co najmniej jedna z a,b,c jest parzysta. Wystarczy nie wprost pokazać, że nie istnieją a,b,c nieparzyste spełniające założenie. Nie ma potrzeby sprawdzania przypadków jak jakieś są parzyste.

Mila: b) skorzystaj z zapisu liczby podanego przez zawodusa. Zbadaj jaka jest reszta z dzielenia przez 3 kwadratu liczby naturalnej. (3 przypadki)

Radek: 3k+1 i 3k+2 to już chyba wiem co dalej

Radek: Wykaż, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6n − 1 lub 6n + 1 dla pewnej liczby naturalnej n .?

Mila: 6n − wielokrotność liczby 6. Wypisz jakie reszty możesz otrzymać przy dzieleniu liczby naturalnej przez 6.

Radek: {0,1,2,3,4,5}

Mila: I teraz po kolei' Postać p=6n+0 nie może być liczbą pierwszą, bo to liczba złożona p=6n+2 nie może być bo to liczba parzysta , złożona Rozważaj dalej.

Radek: żadna liczba p=6n+3 p=6n+4 p=6n+5 nie będzie liczbą pierwszą

Mila: 6n+2,6n+3,6n+4 nie może byc postacią liczby pierwszej. 6n+1 może byc postacia liczby pierwszej większej od 3 dla n∊N₊ 6n+5 może byc postacia liczby pierwszej większej od 3 dla n∊N 6n+5=6n+6−1⇔ 6(n+1)−1=6k−1, gdzie k to pewna liczba naturalna , k∊N₊

Radek: Ale czemu trzeba tak rozpisywać ?

Mila: Masz pomysł na inne uzasadnienie?

Radek: Nie mam wgl pomysłu na to zadanie.

Mila: No to przeczytaj treść zadania, przemyśl, to co uzgodniliśmy.

Radek: tylko czemu trzeba było wypisać reszty ?

Mila: Wtedy wszystkie liczby naturalne możesz zapisać w tych postaciach: 10=6*1+4 11=6*1+5 12=6*2 13==6*2+1 14=6*2+2 15=6*2+3 16=6*2+4 17=6*2+5 18=6*3 itd

Radek: dobrze a dalej ?

Mila: No przecież masz już skończone zadanie 22:40

Radek: Dziękuję

Mila: