Zadanie Godzio: Witam, czy mógłby ktoś dać wskazówkę, jak udowodnić taką nierówność: (a + b)^x ≤ a^x + b^x dla x ∊ (0,1) i a,b ≥ 1 Niby oczywiste, a na dowód wpaść nie mogę

Maslanek: (a+b) ≥ log_x (a+b) ≥ log_x (a^x+b^x) (a+b)>1 i x∊(0,1). Więc log_x (a+b)<0

Maslanek: Ale to taki czysty strzał

Godzio: Ale co to właściwie daje ? (chyba nic bo log_x(a + b)^x ≠ a + b )

Maslanek: Hmm... Rzeczywiście xDD To chyba nie ta godzina xD

maro: sprobuj moze z wypuklosci funkcji, ale nie jestem pewien czy zadziala

PW: f(x) = (a+b)^x g(x) = a^x+b^x obie rosnące, ale g(0) = 2 ≤a+b, g(1) = a+b i f(1) = a+b (największa wartość f na przedziale [0,1] nie przekracza najmniejszej wartości g na tym przedziale)

PW: Coś chyba bredzę, ale blisko.

Godzio: maro do tego trzeba by współczynników przy a i b sumujących się do 1 Dzięki PW

pigor: ...., a może tak, niech funkcja f ma postać :

	ax+bx		ax		bx
f(x)=		=		+		, czyli
	(a+b)x		(a+b)x		(a+b)x

	a		a
f(x)= (		)x + (		)x , gdzie 0 ≤ x≤ 1 i a ≥1 /+b ⇒
	a+b		a+b

	b		b
⇒ a+b ≥b /:(a+b) ⇒ 1 ≥		⇔ 0<		≤1 i analogicznie
	a+b		a+b

	a
0<		≤1, więc funkcja f jako suma funkcji wykładniczych
	a+b

malejących jest malejąca, czyli x< 1 ⇒ f(x) >f(1), a ponieważ

	a+b
f(1)=		=1, więc
	a+b

	ax		bx
f(x) ≥1 ⇔ 1≤ f(x) ⇔ 1≤		+		⇔
	(a+b)x		(a+b)x

	ax+bx
⇔ 1≤		/*(a+b)x ⇔ (a+b)x ≤ ax+bx c.n.u. . ...
	(a+b)x

wredulus_pospolitus: to może tak:

	1
x ∊ (0,1) , więc		∊ (1,+∞)
	x

dodatkowo obie strony to funkcje rosnące (a + b)^x ≤ a^x + b^x // ^1/x a+b ≤ (a^x + b^x)^1/x jako, że 1/x >1 to (a^x+b^x)^1/x = (a^x)^1/x + (b^x)^1/x +'coś' a więc: a+b = (a^x)^1/x + (b^x)^1/x ≤ (a^x+b^x)^1/x c.n.w.