Dowodzik
karakumana: Udowodniij, że dla każdego a, b, c zachodzi a3+b3+c3a+b+c<=a2+b2+c2
11 mar 22:57
Domel:
| a3 + b3 + c3 | |
| ≤ a2 + b2 + c2 |
| a + b + c | |
a
3 + b
3 + c
3 ≤ (a
2 + b
2 + c
2)*(a + b + c)
a
3 + b
3 + c
3 ≤ a
3 + b
3 + c
3 + a
2b + a
2c + ab
2 + b
2c + ac
2 + bc
2
a
2b + a
2c + ab
2 + b
2c + ac
2 + bc
2 ≥ 0
b(a
2 + c
2) + a(b
2 + c
2) + c(a
2 + b
2) ≥ 0
b(a + c)
2 − 2abc + a(b + c)
2 − 2abc + c(a + b)
2 − 2abc ≥ 0
no i co z tego wynika
?
12 mar 11:59
J:
Nie zachodzi dla każdego a,b,c... np: a = 5 , b = − 3, c = − 2.
Jeśli a≥0,b≥0,c≥0 to: a(b+c)2 + b(a+c)2 + c(a+b)2 ≥ 0
12 mar 12:14
Domel: No musi być a+b+c ≠ 0
Ale poza tym to......
Może trzeba iść inną drogą?
12 mar 13:06
PW: Uwaga do próby z 11:59.
Nie może nic z tego wynikać, bo:
− Po pierwsze − korzystasz z tezy (nie możesz jej więc w ten sposób wykazać).
− Po drugie − wymnożyłeś obie strony przez (a+b+c) tak, jakby (a+b+c) > 0 (a takiego założenia
nie ma w treści zadania, nie wolno mnożyć przez wyrażenie o nieustalonym znaku).
12 mar 16:39
Domel: No i
? Ktoś pomoże?
12 mar 16:39
Domel: ?
12 mar 17:21
Domel: ?
12 mar 17:48
Eta:
Taka nierówność nie zachodzi dla każdego a,b,c !
dla a=b=c=0 sprzeczność
12 mar 18:06
...:
... przenieś na jedną stronę ... na kreskę ... redukuj .... wyciągaj i skracaj i otrzymasz "−"
12 mar 18:09
Domel: Eta ta nierówność nie zachodzi dla każdego a+b+c = 0.
A przeniesienie na jedną stronę − zrobiłem i.... nic mi to nie dało
a2b + a2c + ab2 + b2c + ac2 + bc2 ≥ 0
12 mar 18:23
pigor: ... , moim zdaniem
karakumana pomyli(a)
zwrot (znak), bo napisał(a) ≤ zamiast ≥
12 mar 18:29
Eta:
W treści jaką podał/ła
karakumana taka nierówność nie zachodzi
i tyle w tym temacie
jaka treść, taka odp
12 mar 18:32
Eta:
Hej
pigor
skoro napisała ,że
dla każdego a,b,c .... to bzdura! ( jaki by nie był zwrot
nierówności)
bo w mianowniku (a+b+c)
Jak ktoś jest
duchem ? niech zgaduje... co autor miał na myśli?
12 mar 18:35
Mila:
Wg mnie brakuje założeń, może to wynik wcześniejszych przekształceń.
12 mar 20:23
domel: pigor zwrot jest dobry. Sprawdzałem na kilku przykładowych liczbach no i oprócz warunku,
że a+b+c≠0 to reszta gra − jeżeli a+b+c>0 to znak pozostaje bez zmian, a jeżeli a+b+c<0 to
wtedy zmieniamy zna główny na ≥ i też gra.
Ale jak to udowodnić
13 mar 09:57
PW: Głowa mnie boli, ale takie oczywiste rzeczy widzę:
− nierówność jest prawdziwa, gdy wszystkie liczby a, b, c są dodatnie lub wszystkie ujemne;
− nierówność jest prawdziwa, gdy a+b+c i a3+b3+c3 są różnych znaków (wtedy lewa strona jest
ujemna).
Trzeba skupić się na sytuacji, gdy:
1. nie wszystkie liczby a, b, c są tego samego znaku
i jednocześnie
2. (a+b+c) i (a3+b3+c3) są tego samego znaku.
13 mar 16:39
Domel: PW
Twoje 2 punkty gryzą się wzajemnie bo jeżeli (wg 1−go punktu) a, b i c będą dodatnie to sumy
a+b+c i a
3+b
3+c
3 będą dodatnie a jeżeli a, b i c będą ujemne − to sumy a+b+c i a
3+b
3+c
3
też będą ujemne. A więc w takim przypadku te dwie sumy będą zawsze tych samych znaków
(sprzeczne z twoim punktem nr 2). A trzeci przypadek (a+b+c jednego znaku a a
3+b
3+c
3
drugiego znaku) też daje prawidłowy wynik
A tu przykłady:
| 23 + 33 + 43 | | 99 | |
| ≤ 22 + 32 + 42 => |
| ≤ 29 |
| 2 + 3 + 4 | | 9 | |
| (−2)3 + (−3)3 + (−4)3 | | −99 | |
| ≤ (−2)2 + (−3)2 + (−4)2 => |
| ≤ 29 |
| −2 − 3 − 4 | | −9 | |
| (−2)3 + (−3)3 + 43 | | 29 | |
| ≤ (−2)2 + (−3)2 + 42 => |
| ≤ 29 |
| −2 − 3 + 4 | | −1 | |
Jak widzisz różne kombinacje i zawsze prawda
13 mar 21:16
Domel: Wycofuję tezę że gdy a+b+c jjest ednego znaku a a
3+b
3+c
3 drugiego znaku to też dostajemy
prawidłowy wynik − sprawdziłem w excelu na większych liczbach, że to nie zawsze daje poprawny
wynik (dla małych wartości ujdzie − dla większych nie).
Więc zostaje warunek, że wszystkie liczby a, b i c są albo dodatnie albo ujemne
No a z tego równania:
a
2b + a
2c + ab
2 + b
2c + ac
2 + bc
2 ≥ 0
wynika, że liczby a, b i c muszą być dodatnie (bo dla ujemnych nierówność nie zachodzi)
No to pewnie w zadaniu było "dla każdego a, b i c > 0...."
No i wtedy nierówność jest prawdziwa.
Dzięki wszystkim za pomoc i do....... następnych zadanek
13 mar 23:02
Eta:
I o to,o to ..... szło
13 mar 23:04
Mila:
Patrz komentarz kolegi J 12:14
13 mar 23:10
Eta:
Patrz wpis Ety 18:06
13 mar 23:18
Mila: Też.
13 mar 23:22