Równanie funkcyjne Wazyl: Równanie: P(x+1)³=[P(x+1)]³

Wazyl: ZKS chyba nikt się nie zainteresuje jednak

ZKS: Spokojnie. Dopiero parę minut minęło. Podbijaj co godzinę a na pewno ktoś się zainteresuje.

Vax: Naturalnie skoro x ∊ R to równość P(x+1)³ = (P(x+1))³ ⇔ P(x³) = (P(x))³. Jeżeli P(x) jest stały to łatwo dostajemy P(x) = 0 v P(x) = 1 v P(x) = −1, załóżmy, że jest to wielomian niestały, stopnia n. Jeżeli przy xⁿ mamy niezerowy współczynnik ,,a" to musi on spełniać a = a³ ⇔ a=−1 v a=1. Łatwo widać, że jeżeli P(x) spełnia tezę, to −P(x) również, skąd załóżmy bez straty ogólności, że a=1. Rozpatrzmy więc wielomian Q(x) = P(x)−xⁿ ⇔ P(x) = Q(x)+xⁿ, równość z zadania przyjmuje postać Q(x³)+x³ⁿ = (Q(x)+xⁿ)³ = (Q(x))³+3(Q(x))²*xⁿ+3Q(x)*x²ⁿ+x³ⁿ ⇔ Q(x³) = (Q(x))³ + 3(Q(x))²*xⁿ+3Q(x)*x²ⁿ Ale jeżeli Q(x) jest wielomianem niestałym stopnia k < n, to po lewej stronie mamy wielomian stopnia 3k, a po prawej mamy sumę wielomianów o stopniach odpowiednio 3k , 2k+n , k+2n, ale zachodzi k+2n > 3k , k+2n > 2k+n więc po prawej stronie jest wielomian stopnia k+2n, czyli aby L=P musiałoby być k+2n = 3k ⇔ n=k sprzeczność. Stąd Q(x) jest wielomianem stałym a stąd od razu otrzymujemy Q(x) = 0. Ostatecznie wszystkie wielomiany spełniające tezę to P(x) = xⁿ v P(x) = −xⁿ v P(x) = −1 v P(x) = 0 v P(x) = 1

Wazyl: Czapki z głów. Vax jestem pełen podziwu. Dziękuję. Przeczytam 3 razy i postaram się zrozumieć metodologię.