funkcja kwadratowa f(x)=x2+(2m+4)x+3m+6. jagna: Dana jest funkcja kwadratowa f(x)=x2+(2m+4)x+3m+6. Funkcja g przyporządkowuje liczbie rzeczywistej m sumę kwadratów różnych miejsc zerowych funkcji f. Podaj wzór i narysuj wykres funkcji g. Proszę o rozwiązanie krok po kroku

PW: 1. Sprawdzamy, czy można wierzyć Autorowi, że funkcja f ma zawsze dwa miejsca zerowe. Δ = (2m+4)² − 4•1•(3m+6) = 4m²+16m+16−12m−24 = 4m²+4m − 8 = = 4(m² + m − 2). (1) Δ > 0 ⇔ m² + m − 2 > 0 Dla rozwiązania nierówności (1) liczymy wyróżnik Δ_m funkcji h(m) = m² + m − 2: Δ_m = 1² − 4•1•(−2) = 9 √Δ_m = 3

	−1−3		−1+3
m1 =		= −2, m2 =		= 1.
	2•1		2•1

Rozwiązaniem nierówności (1) są więc m∊(−∞, −2)∪(1,∞). Podsumowanie: funkcja f ma dwa miejsca zerowe wtedy i tylko wtedy, gdy m∊(−∞, −2)∪(1,∞). Taka więc jest dziedzina funkcji g, której wzoru i wykresu poszukujemy. 2. Dla m ustalonych w punkcie 1. istnieją dwa miejsca zerowe funkcji f, można więc zastosować wzory Viete'a

	2m+4		3m+6
x1+x2 = −		, x1•x2 =
	1		1

x₁+x₂ = − 2(m+2), x₁•x₂ = 3(m+2) Wynika z nich, że (x₁+x₂)² = 4(m+2)² x₁²+x₂²+2x₁x₂ = 4(m+2)² x₁²+x₂²+2•3(m+2) = 4(m+2)² x₁²+x₂² = 4(m+2)² − 6(m+2) x₁²+x₂² = (m+2)(4m + 8 − 6) x₁²+x₂² = (m+2)(4m+2) x₁²+x₂² = 2(m+2)(2m+1) Podsumowanie: szukana funkcja g jest określona wzorem g(m) = 2(m+2)(2m+1), m∊(−∞, −2)∪(1,∞). Mam prośbę o sprawdzenie rachunków, gdyż bywa że okropnie się mylę.

anulka: jak na moje oko rachunki się zgadzają

PW: A syns?

anulka: w porządku jest zapomniałeś tylko o wykresie, ale jagna moze sobie już poradzi

PW: Nie zapomniałem, z zasady tu nie rysuję − z obawy o zdrowie psychiczne

anulka: w sumie to Ci się nie dziwię

anulka: PW, znalazłam błąd... x1+x2 = − 2(m+2) wyciągając −2 nie powinno być w nawiasie m−2 ?

ZKS: Dobrze jest.

	2m + 4
x1 + x2 = −		= −2m − 4 = −2(m + 2)
	1