ekstremum jolkaS: Jeszcze raz bardzo proszę o pomoc w rozwiązaniu 2 zadań z ekstremum 1. Wierzchołki A i C prostokąta OABC należą do osi układu współrzędnych. Wierzchołek B należy do paraboli o równaniu y=(x−6)². Dla jakiej długości boków tego prostokąta jego pole będzie największe. 2. Wierzchołki trapezu należą do paraboli y=−x²+4, przy czym końce dłuższej podstawy są punktami, w których parabola przecina oś x. Wyznacz możliwie największe pole tego trapezu

pigor: ... , czy można to załatwić ci pochodną

pigor: ad1) P_max=P(2)= 32 prostokąt o wymiarach 2 i 16

jolkaS: Właśnie trzeba pochodną, a skąd ta 2?

pigor: , bo B=(x,y)=(x,(x−6)²) i A=(x,0) ⇒ |OA|= x=? i |AB|= y= (x−6)²=? − szukane długości boków prostokąta o największym polu P, czyli takim, że P(x)= xy= x(x−6)²= x(x²−12x+36)= x³−12x²+36x i (*) 0< x<6 to P'(x)= 3x²−24x+36= 0 ⇔ 3(x²−8x+12)= 0 ⇔ (x−6)(x−2)= 0 ⇔ ⇔ x=6 (parabola ma tu wartość 0) − nie spełnia warunków zadania, lub x=2 i P'(x) w x=2 zmienia znak z + na − , czyli w x=2 funkcja P ma maksimum lokalne, wtedy y= (2−6)²=16 , czyli (x,y)= (2,16) − szukane długości boków prostokąta o największym polu.

jolkaS: I wszystko jasne Dziękuję bardzo! A to drugie zadanie? Nie musi być już takie szczególowe rozwiązanie, bo załapałam. Najgorzej mi jest zawsze funkcję utworzyć

pigor: ..., z warunków zadania niech ABCD − twój trapez, to A=(−2,0) , B=(2,0), C=(x,y)= (x,−x²+4), D=(−x,y), to E=(x.0) − − spodek wysokości h=CE ⊥ AB i P(x)= ¹₂(a+b)h= P_max.=?, gdzie a=|AB|=|2−(−2)|=4, b=|CD|=|−x−x|=|−2x|=2|x|= 2x i x>0, h=|CE|=|−x²+4|= −x²+4 i 0<x<2, zatem P(x)= ¹₂(4+2x)(4−x²), czyli pole trapezu ABCD (*) P(x)= (x+2)(4−x²) i x∊(0;2)=D, teraz z warunku koniecznego istnienia ekstremum funkcji P: −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− P'=0 ⇔ 1*(4−x²)+(x+2)*(−2x)=0 ⇔ −3x²−4x+−4=0 ⇔ x=−2∉D v x= ²₃∊D, a więc ekstremum możemy się spodziewać tylko w x= ²₃, no to sprawdzam np. z 2−giej pochodnej tak : −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− ponieważ P''(x)= −6x−4 i P''(²₃)= −4−4= −8< 0, to z warunku dostatecznego ekstremum i z (*) wynika, że istotnie w x=²₃ P(²₃)=P_max.= (²₃+2)(4−⁴₉)=⁸₃*³²₉=²⁵⁶₂₇ ≈ 9,48 − − szukane możliwie największe pole trapezu . ...

jolkaS: Wielkie dzięki!

pomocy: skąd sie wzięło 2/3 ? w dziedzinie ?

troll: z Trójmianu kwadratowego(−4 prawdopodobnie była takim niedopatrzeniem ale powinno być −3x²−4x+4 i z trójmianu obliczasz x₁ i x₂