WYKAŻ ŻE Jolala: Wykaż, że 1. dla dowolnych liczb rzeczywistych różnych od zera zachodzi nierówność

	a2−ab+b2		1
		≥
	a2+ab+b2		3

2. jeśli dla dowolnych liczb dodatnich x,y,z spełniony jest warunek x² + y² + z² = √3 to x²y² + y²z² + x²z² ≤ 1

Jolala: i jeszcze: wykaż, ze dla dowolnych liczb nieujemnych a, b takich że a² + b² = 4 zachodzi nierówność

	ab
		< √2 − 1
	a + b + 2

PW:

	(a+b)2−3ab		(a+b)2−ab − 2ab
(1)		=		=
	(a+b)2−ab		(a+b)2−ab

	2ab
1 −		=
	(a+b)2−ab

	2
= 1−
	(a+b)2   −1 ab

Mianownik

(a+b)2		a2+2ab+b2		a		b		a		b
	−1 =		− 1 =		+ 2 +		− 1 =		+		+ 1
ab		ab		b		a		b		a

Jak wiadomo dla a i b tego samego znaku prawdziwa jest nierówność

	a		b
		+		≥ 2,
	b		a

zatem

	(a+b)2
		−1 ≥ 3
	ab

i tym samym

	2		2
		≤
	(a+b)2   −1 ab		3

	2		2
−		≥ −		,
	(a+b)2   −1 ab		3

co zastosowane do (1) kończy dowód. Co będzie, gdy a i b są różnych znaków? − W badanym wyrażeniu licznik staje się większy od mianownika, a więc nie ma czego dowodzić (dodatniość licznika i mianownika są oczywiste).

Jolala: dziękuję za pomoc!