Trygonometria Patri: Oblicz sinx−cosx wiedząc, że sinx+cosx=³¹₂₅

Patri: Chociaż z czego tu skorzystać. Wzór skróconego mnożenia? Nie widzę tego. Układ równań z jedynką trygonometryczną? Nie wychodzi, strasznie duże ułamki. Uczę się, pomóżcie.

Patri: up

Patri: up

Patri: up

Kamix:

	31
sinx+cosx=
	25

	31
sinx=		−cosx
	25

Podstawiam do równania sinx−cosx

	31
sinx−cosx=		−cosx−cosx
	25

	31
−2cosx=
	25

	31		1		31
cosx=		*(−		)=−
	25		2		50

	31
sinx+cosx=
	25

	31		31
sinx−		=
	50		25

	31		31
sinx=		+
	25		50

	93
sinx=
	50

	93		31		124
sinx−cosx=		+		=
	50		50		50

Patri: odp: ¹⁷₂₅ lub ⁻¹⁷₂₅ Ale wdzięczna jestem za tak dokładnie rozpisany przykład. Błędu nie widzę. Możliwe, że jest błąd w książce?

Patri: up

Patri: up

pigor: ... Oblicz sinx−cosx wiedząc, że sinx+cosx= ³¹₂₅. −−−−−−−−−−−−−−−− no to np. tak : niech sinx−cosx= t= ?, to sinx−cosx= t i sinx+cosx= ³¹₂₅ /² stronami ⇒ ⇒ sin²x−2sinxcosx+cos²x= t² i sin²x+2sinxcosx+cos²x= (³¹₂₅)² ⇔ ⇔ 1−2sinxcosx= t² i 1+2sinxcosx= (³¹₂₅)² /+ stronami ⇒

	2*252−312
⇒ 2=t2+ (3125)2 ⇔ t2=(3125)2−2=		=
	252

	1250−961		289		17
=		⇒ t2 =		⇒ | t | =		⇔
	252		252		25

⇔ t= − ¹⁷₂₅ v t= ¹⁷₂₅ ⇒ ⇒ sinx−cosx = − ¹⁷₂₅ v sinx−cosx = ¹⁷₂₅ . ...

Patri: ufff, dziękuję. Bardzo. Wszystko jasne.

Patri: Ale nie koniec to kłopotów z tego rodzaju zadaniami. Oblicz sin² x− cos²x, wiedząc, że sinx*cosx=^√3₄ Iloczyn sumy i różnicy? ale co dalej?

Patri: ok, wrzucam to jako nowe zadanie

pigor: ..., np. tak :zauważ, że szukasz sin²x−cos²x= −(cos²x−sin²x)= −cos2x= ? , ale sinxcosx = ¹₄√3 /*2 ⇔ 2sinxcosx= ¹₂√3 ⇔ sin2x= ¹₂√3, więc z ... poczciwej jedynki trygonometrycznej cos²2x= 1−sin²2x= 1− ³₄= ¹₄ ⇔ |cos2x|= ¹₂ ⇔ ⇔ cos2x= −¹₂ v cos2x= ¹₂ ⇔ −cos2x= ¹₂ v −cos2x= −¹₂, zatem sin²x−cos²x= ¹₂ v sin²x−cos²x= −¹₂ . ...

Patri: jezu... zbyt straszne... na dziś poddaję się, ale przeanalizuję jutro na spokojnie. Bardzo Ci dziękuję za Twój czas.

pigor: ..., no to inaczej , niech sin²x−cos²x= t i sin²x+cos²x= 1 /± stronami ⇒ ⇒ 2sin²x= 1+t i 2cos²x= 1−t /* stronami ⇒ 4sin²xcos²x=(1+t)(1−t) i sinx*cosx=¹₄√3 /*2 ⇔ ⇔ (2sinxcosx)²=1−t² i 2sinx*cosx=¹₂√3 ⇔ (¹₂√3)²=1−t² ⇔ ⇔ t² = 1−³₄ ⇔ | t |= ¹₂ ⇒ t= ±¹₂ =sin²x−cos²x . ..