równanie okręgu landv: Prosta 2x−y−5=0 przecina okrąg o środku S(2,4) w punktach A i B. Długość cięciwy AB wynosi 4√5. Wyznacz równanie tego okręgu.

Janek191: S = ( 2 ; 4) ( x − 2)² + ( y − 4)² = r² 2 x − y − 5 = 0 ⇒ y = 2 x − 5 więc x² − 4 x + 4 + ( 2 x − 5 − 4)² = r² x² − 4 x + 4 + 4 x² − 36 x + 81 = r² 5 x² − 40 x + 85 − r² = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 1 600 − 4*5*( 85 − r²) = 1 600 − 1700 + 20 r² = 20 r² − 100 > 0 ⇒ r² − 5 > 0

	40 − √20 r2 − 100
x1 =		= 4 − √0,2 r2 − 1
	10

	40 + √20 r2 − 100
x2 =		= 4 + √0,2 r2 − 1
	10

zatem y₁ = 2*( 4 − √ 0,2 r² − 1) − 5 = 3 − 2√0,2 r² − 1 y₂ = 2*( 4 + √ 0,2 r² − 1) − 5 = 3 + 2√0,2 r² − 1 Obliczam długość cięciwy AB : I AB I² = ( 2√0,2 r² −1)² = ( 4√0,2 r² − 1)² = 4*( 0,2 r² − 1) + 16*(0,2 r² − 1) = = 0,8 r² − 4 + 3,2 r² − 16 = 4 r² − 20 czyli 4 r² − 20 = ( 4 √5)² = 16*5 = 80 4 r² = 100 r² = 25 r = 5 Odp. ( x − 2)² + ( y − 4)² = 25 ========================