Karolina: Uzasadnij, że jeżeli liczba naturalna jest kwadratem innej liczby naturalnej, to ma nieparzystą liczbę dzielników.

b.: Powiedzmy, że ta liczba x jest kwadratem liczby p₁^a₁*p₂^a₂*...*p_n^a_n, gdzie p_i są (parami różnymi) liczbami pierwszymi. Wówczas x = p₁^2a₁*p₂^2a₂*...*p_n^2a_n. Jakie są dzielniki x? Są postaci p₁^b₁*p₂^b₂*...*p_n^b_n, gdzie b_i ≤ 2a_i. Każdy wykładnik możemy więc wybrać na (2a_i+1) sposobów, więc łącznie wyborów (czyli dzielników x) jest (2a₁+1)(2a₂+1)*...*(2a_n+1) czyli nieparzysta liczba.

Karolina: dzięki za pomoc ale nie bardzo rozumiem. nie da się tego jakoś prościej? jestem w I gim. i jak dam takie rozwiązanie to będą wiedzieli że to nie ja.

b.: No wiesz, wydaje mi się, że to jest po prostu trudne zadanie jak na I gimn. Spróbuj może na przykładach, ale tak, żeby dzielniki były wypisane w systematyczny sposób. Np. 36=(2*3)², dzielniki: 2⁰, 2¹, 2²; 2⁰*3, 2¹*3, 2²*3; 2⁰*3², 2¹*3², 2²*3². Przykład 2. 144=(2²*3)²; dzielniki: 2⁰, 2¹, 2²,2³,2⁴; 2⁰*3, 2¹*3, 2²*3,2³*3, 2⁴*3; 2⁰*3², 2¹*3², 2²*3²,2³*3²,2⁴*3². Przykład 3: 30² = (2*3*5)² dzielniki: (...)

Karolina: dzięki. to już lepsze

baasiaa95: no ja też mam to zadanie .. ale to trzeba uzasadnic a nie przykłady

UlA: je tez potrzebuje pomocy (4przyklady i uzasadnienie)

x: Jeśli ten kwadrat oznaczmy jako n², to dla każdego x, które dzieli n², to istnieje też całkowite y = n²/x. Czyli liczba dzielników jest parzysta. Ale zaraz zaraz... n policzyliśmy 2 razy (n²/n=n). Zatem od liczby dzielników odejmujemy 1 i otrzymujemy liczbę nieparzystą.