Trygonometria! Maja: Rozwiązać Równanie:

	cos2x
cosx+sinx=
	1−sin2x

Dzieki za pomoc

Bogdan: Rozwiązuję

Bogdan: Założenie: sin2x ≠ 1

	cos2x − sin2x
cosx + sinx =
	cos2x + sin2x − 2sinx cosx

	(cosx − sinx)(cosx + sinx)
cosx + sinx =		/ * (cosx − sinx)2
	(cosx − sinx)2

(cosx + sinx)(cosx − sinx)² = (cosx − sinx)(cosx + sinx) (cosx + sinx)(cosx − sinx)² − (cosx − sinx)(cosx + sinx) = 0 (cosx + sinx)(cosx − sinx)(cosx − sinx − 1) = 0 cosx + sinx = 0 lub cosx − sinx = 0 lub cosx − sinx = 1 Spróbuj Majo dalej samodzielnie rozwiązać te trzy proste równania.

Miś: Aby pomnożyć obydwie strony równania przez wyrażenie to należy założyć, że jest ono różne od zera. Przykład do czego to może doprowadzić: 4 = 5 / * 0 ⇒ 0 = 0, czyli z fałszu dostajemy prawdę Po za tym cosx − sinx ≠ 0 bo jest w mianowniku.

Miś: Powinno, być Założenie cosx − sinx ≠ 0 cosx + sinx = 0 lub cosx − sinx = 1

Bogdan: Dzień dobry. Masz rację Misiu. Takie założenie, jak zapewne zauważyłeś, zostało na wstępie zadania uczynione. Uzasadnienie:

	1		1
sin2x ≠ 1 ⇒ 2x ≠		π + k*2π ⇒ x ≠		π + k*π
	2		4

Jest ono równoznaczne z założeniem: cosx − sinx ≠ 0

	1
cosx ≠ sinx ⇒ cosx ≠ cos(		π − x)
	2

	1		1		1
x ≠		π − x + k*2π ⇒ 2x ≠		π + k*2π ⇒ x ≠		π + k*π
	2		2		4

lub

	1
x ≠ −		π + x + k*2π sprzeczność
	2

Założenie znajduje się w zadaniu, więc Misiu ?

Bogdan: A teraz Misiu uzasadnij potrzebę wprowadzenia w tym zadaniu założeń: cosx + sinx = 0 lub cosx − sinx = 1.

Miś: Dzień dobry. Masz rację, zauważyłem. Nie potrzebnie w dałem się w dyskusje. Ale w rozwiązaniu podałeś cosx − sinx = 0, stąd moja wypowiedź. Sorry. Pozdrawiam.

Bogdan: Podałem równania, wśród nich cosx − sinx = 0, ale nie jest to jeszcze końcowe rozwiązanie, jest to tylko etap rozwiązania i na tym etapie ten zapis ma być. Zaproponowałem uczestniczce forum dokończenie rozwiązania. Jego wynikiem byłyby liczby sprzeczne z przyjętym na początku założeniem i dopiero wtedy należy to stwierdzić.

	x2 − 4
Podobnie jak w zadaniu:		= 0
	x − 2

Założenie: x ≠ 2 x² − 4 = 0 ⇒ (x − 2)(x + 2) = 0 x − 2 = 0 lub x = −2 (na tym etapie zadania te dwa zapisy muszą się pojawić) x = 2 sprzeczność (dopiero teraz wpisuje się stwierdzenie o sprzeczności) lub x = −2 Również pozdrawiam.