przeksztalcenia zadanie: przksztalcenie jednorodne to inaczej liniowe prawda?

Trivial: Nie. Jednorodne oznacza tylko f(cx) = c*f(x), a liniowe dodatkowo spełnia f(x+y) = f(x) + f(y).

zadanie: dziekuje

zadanie: 1. Uzasadnij, ze jesli przeksztalcenie T: R³→R³ jest odwracalne i jednorodne, to przeksztalcenie odwrotne T⁻¹ jest tez jednorodne. z definicji jednorodnosci: tT(x)=T(tx) T⁻¹(tx)=tT⁻¹(x) T(T⁻¹(tx))=T(tT⁻¹(x)) TT⁻¹(tx)=t(TT⁻¹(x)) tx=tx dobrze

zadanie: 2. Uzasadnij bezposrednio z definicji, ze przeksztalcenie liniowe zadane macierza m= 1 1 1 0 0 0 2 2 2 nie jest roznowartosciowe i nie jest ''na''. niech e₁, e₂ beda wersorami me₁=(1,0,2) me₂=(1,0,2) czyli nie jest roznowartosciowe bo dla dwoch roznych wektorow sa takie same wartosci m*(x,y,z)=(2.0,5) x+y+z=2 0=0

	5
2(x+y+z)=5 czyli x+y+z=2 oraz x+y+z=		nie jest ''na'' ale jak to skomentowac?
	2

Trivial: W zadaniu drugim nie podałeś skąd prowadzi przekształcenie m. To, że m nie jest różnowartościowe jest oczywiste (co pokazałeś), natomiast to czy jest "na" zależy od tego czy jest opisane jako m : R³ → R³ (1) czy też może jako m : R³ → span{[1 0 2]^T} (2) Pierwsze nie jest "na", drugie jest.

zadanie: chodzilo o m: R³ → R³ czyli nie jest ''na'' 1 zadanie dobrze?

Trivial: Pierwsze zadanie chyba dobrze, ale zrobione dość dziwnie. Alternatywny sposób: y = T(x) → x = T⁻¹(y) T⁻¹(cy) = T⁻¹(cT(x)) = T⁻¹(T(cx)) = cx = cT⁻¹(y)

zadanie: dziekuje

zadanie: mam jeszcze taki problem Zalozmy, ze przeksztalcenia (niekoniecznie liniowe) S,T : R³→R³ sa odwracalne. Uzasadnij, ze wtedy przeksztalcenie ST jest tez odwracalne i ze (ST)⁻¹=T⁻¹S⁻¹. zalozmy najpierw, ze jest liniowe. sa one odwracalne wiec det m(T)≠0 podpowiedzi?

Trivial: Nie wiem czy założenie, że są liniowe coś pomoże. Nie ma co kombinować tylko od razu udowodnić dla dowolnego przekształcenia. Ponieważ T, S są odwracalne to można napisać: y = S(T(x)) S⁻¹(y) = T(x) T⁻¹(S⁻¹(y)) = x I koniec.

zadanie: Uzasadnij (bez korzystania z macierzy przeksztalcenia i wyznacznika), ze rzut prostokatny na os Oz nie ma przeksztalcenia odwrotnego. x'=0 y'=0 z'=z czyli 0=x' 0=y' z=z' i dalej nie mam pomyslu

Trivial: Skoro T⁻¹ ma istnieć, to jedynym rozwiązaniem równania Tx = 0 jest x = 0. Jeśli znajdziesz wektor x ≠ 0, dla którego Tx = 0 to udowodnisz tym samym, że T nie jest odwracalne.