nierówności ICSP: Mam problem z dwiema nierównościami : 1 Liczby dodatnie a₁ , ... a_n spełniają warunek a₁ * a₂ * ... * a_n = a , a ≠ 1. Pokazać, że

	1
(loga a1)2 + (loga a2)2 + ... + (loga an)2 ≥
	n

2 Udowodnić, że dla liczb a₁ , a₂ , .. a_n mających ten sam znak zachodzi : (1 + a₁)(1 + a₂)...(1+ a_n) ≥ 1 + a₁ + ... + a_n

ICSP: W drugim zapomniałem o założeniu a₁,a₂ , ... , a_n > −1

Maslanek: Hmm... Zastanawiam się nad czymś takim: Wiemy, że (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) Podobnie dla kwadratu sumy n składników. Mamy kolejne kwadraty poszczególnych składników i podwojoną sumę kombinacji 2 elementowych. Mamy: (log_aa₁+log_aa₂+...+log_aa_n−1+log_aa_n)²= log²_aa₁+log²_aa₂+...+log²_aa_n−1+log²_aa_n + 2(log_aa₁a₂+log_aa₁a₃+...log_aa₁a_n+...+log_aa_n−1a_n) Wyrażenie przed równaśką jest równe [log_a(a)]²=1 Zatem L=1−2(log_a(a₁ⁿ*a₂ⁿ*a₃ⁿ*...*a_n−1ⁿ*a_nⁿ)=1−2(log_a(aⁿ))=1−2n

	1
Uzasadnić wtedy wystarczy nierówność 1−2n≥
	n

Coś nie gra Ale nie kasuje, bo może coś pomyliłem

Maslanek: Aj... już wiem... To jest iloczyn logarytmów

Maslanek: Hmm... Zastanawiam się nad czymś takim: Wiemy, że (a+b+c)²=a²+b²+c²+2(ab+ac+bc) Podobnie dla kwadratu sumy n składników. Mamy kolejne kwadraty poszczególnych składników i podwojoną sumę kombinacji 2 elementowych. Mamy: (log_aa₁+log_aa₂+...+log_aa_n−1+log_aa_n)²= log²_aa₁+log²_aa₂+...+log²_aa_n−1+log²_aa_n + 2(log_aa₁log_aa₂+log_aa₁log_aa₃+...log_aa₁log_aa_n+...+log_aa_n−1log_aa_n) Rozpatrzmy, to: (log_aa₁log_aa₂+log_aa₁log_aa₃+...log_aa₁log_aa_n+...+log_aa_n−1log_aa_n) Kolejno wyłączamy przed nawias log_aa₁, log_aa₂ itd. Dostajemy

	a		a
logaa1*loga		+logaa2*loga		+...+logaan*logaU{a}{a1a2...an−1
	a1		a1a2

Korzystając z róznicy logarytmów: log_aa₁*(1−log_aa₁)+log_aa₂(1−log_aa₁a₂)+...+log_aa_n*(1−log_aa₁a₂...a_n−1) ......... Dobra, jakoś nie mam pomysłu na dalsze rozwinięcie Spróbujmy indukcyjnie

Trivial:

	∑(lnak)2		∑(lnak)2
L = ∑(logaak)2 =		=
	(lna)2		(∑lnak)2

	n*E[X2]		1		E[X2]		1
=		=		*		≥		.
	(nE[X])2		n		E2[X]		n

gdzie X = lnA

Maslanek: Dla dowolnego n zachodzi a₁a₂a₃...a_n=a≠1 Dowodzimy indukcyjnie: (1) Dla n=1 mamy założenie a₁=a Oraz L=(log_aa₁)²=1²=1

	1
P=		=1
	1

Zatem (*) zachodzi (2) Niech n∊N. Załóżmy, że dla n zachodzi a₁a₂a₃...a_n=a≠1 oraz, że (*) zachodzi dla n, tj.:

	1
(logaa1)2+(logaa2)2+(logaa3)2+...+(logaan)2≥
	n

Pokażemy, że (*) zachodzi dla n+1: Mamy: L=(log_aa₁)²+(log_aa₂)²+(log_aa₃)²+...+(log_aa_n)²+(log_aa_n+1)²

	1
L ≥ (zał.)		+(logaan+1)2 =
	n

	1		1		logaan+1
= (		)2+(logaan+1)2 = (		+logaan+1)2 − 2*		≥
	n2		n2		n2

	1		logaan+1
≥ (cecha kwadratu)		−2*		=
	n		n2

	n−logaan+1		logaan−logaan+1
=		=
	n2		n2

Koniec pomysłów...

Trivial: Maslanek, w końcu udało Ci się dowieść?

ICSP: Ile pomysłów

ICSP: Trivial mógłbyś troszkę bardziej opisać swoje rozwiązanie ?

Trivial: Ależ tutaj nie ma co opisywać. E[X] oznacza średnią. Korzystając ze ściągawki: http://pl.wikipedia.org/wiki/Nier%C3%B3wno%C5%9B%C4%87_Cauchy%27ego_o_%C5%9Brednich

	E[X2]
dowiadujemy się, że		≥ 1, a reszta jest chyba zrozumiała?
	E2[X]

Trivial: Może zapiszę to bez znaku sumy, będzie łatwiej zrozumieć. L = (log_aa₁)² + (log_aa₂)² + ... + (log_aa_n)²

	lna1		lna2		lnan
= (		)2 + (		)2 + ... + (		)2
	lna		lna		lna

	(lna1)2 + (lna2)2 + ... + (lnan)2
=
	(lna)2

	(lna1)2 + (lna2)2 + ... + (lnan)2
=
	(lna1 + lna2 + ... + lnan)2

	n*(średnia kwadratowa lnA)
=
	(n*(średnia arytmetyczna lnA))2

	1		(średnia kwadratowa lnA)
=		*
	n		(średnia arytmetyczna lnA)2

	1
≥
	n

ICSP: i o coś takiego właśnie mi chodziło Teraz może uda mi się to rozszyfrować

ICSP: Jakiś pomysł na drugą nierówność ?

ZKS: Spójrz na http://www.mimuw.edu.pl/~nayar/seria1r.pdf może coś pomoże.

ICSP: Pomoże Dzięki wszystkim

Maslanek: Nie . Ale dobrze się bawiłem