u Paulina: Narysuj linię o równaniu |x−2|+ |y| = 2 i oblicz jej długość Jak to narysować ?

Aerodynamiczny: Musisz sobie podzielić dziedzinę na przedziały i zobaczyć jak wygląda w danym przedziale ta prosta.

abc: 1/ dla x≥ 2 i y≥0 x−2+y=2 → y=−x+4 2/ dla x≥2 i y<0 ........ 3/ dla x<2 y<0 ......... 4/ dla x<2 i y≥0 ......... otrzymasz kwadrat o boku długości 2√2

Paulina: Jak do tego doszłaś ?

Paulina: ?

abc: 1/ rysujesz prostą y=−x+4 i wybierasz tę część prostej ( odcinek) dla x≥2 i y≥0 i dalej podobnie

ZKS: Rozpisane masz przecież. 1^o dla x ≥ 2 ∧ y ≥ 0 masz x − 2 + y = 2 ⇒ y = −x + 4 i rysujesz tą prostą dla x ≥ 2 ∧ y ≥ 0 2^o dla x ≥ 2 ∧ y < 0 masz x − 2 − y = 2 ⇒ y = x − 4 i rysujesz tą prostą dla x ≥ 2 ∧ y < 0 i tak dalej ...

abc:

Paulina: Analizuję

Paulina: ale ale to nie będą proste ? Prosta nie ma początku ani końca.To będą półproste ?

ZKS: Rysujesz prostą y = −x + 4 ale później ograniczasz ją takie jakie masz założenia tu x ≥ 2 ∧ y ≥ 0.

Paulina: Dobrze, już zrozumiałam. Dziękuję Wam. I podziwiam za razem

Paulina:

	|x2−4|
Jak naszkicować taki wykres f(x)=
	2−|x|

Zależy mi tylko na wskazówkach !

ZKS: Jeżeli dziedzina ustalona to musisz rozważać 4 przypadki x² − 4 ≥ 0 ∧ x ≥ 0 x² − 4 ≥ 0 ∧ x < 0 x² − 4 < 0 ∧ x ≥ 0 x² − 4 < 0 ∧ x < 0 Robisz przykład identycznie jak ten wyżej.

Paulina: Ok, dziękuję choć to już rozwiązanie a nie wskazówka...

Mila: 1) dziedzina 2) Rozważ sytuacje: |x²−4|=x²−4⇔x²−4≥0 i x∊D |x²−4|=−x²+4 dla x²−4<0 i x∊D 3) |x|=x dla x≥0 i x∊D |x|=−x dla x<0 i x∊D

Paulina: Wyznacz te wartości parametru m , dla których równanie ||x + 3| − 2|+ |x +1 | = m ma dokładnie dwa rozwiązania Zadania z książki jak moja mam chodziła do lo.

Paulina: Jak tutaj dać przedziały ?

ZKS: f(x) = ||x + 3| − 2| + |x + 1| Najpierw rozpatrujemy |x + 3| dla x < 3 mamy |x + 5| − x − 1 jeżeli x ∊ [−5 ; 3) to f(x) = 4 jeżeli x < −5 to f(x) = −2x − 6 teraz rozpatrujemy x ∊ [−3 ; −1) |x + 1| − x − 1 = −2x − 2 f(x) = −2x − 2 x ≥ −1 x + 1 + x + 1 = 2x + 2 f(x) = 2x + 2 Rozumiesz? Jeżeli coś nie jest jasne pisz.

Paulina: Nie rozumiem za bardzo jak bym miała |x+3|+|x+1| to wszystko wiem a tutaj nie bardzo

ZKS: Najpierw rozpatrujemy tą co jest najbardziej w środku wartość bezwzględna czyli |x + 3| dla x < −3 mamy −x − 3 oraz |x + 1| dla x < −3 mamy −x − 1. Rozumiesz już coś?

Paulina: najbardziej w środku mam |x+3| a nie |x+1|

ZKS: To przecież napisałem?

ZKS: Tylko napisałem jak się zachowuje dla x < −3 wyrażenie |x + 1|.

Paulina: hmm ?

ZKS: Czego nie rozumiesz? Bo hmm mi dużo nie mów.

Paulina: czemu ruszam wyrażenie |x+1|

ZKS: Wiesz jaką przyjmuje wartość x + 1 dla x < −3.

Paulina: zostawmy na potem bo wydaje się trudne.

ZKS: Lepiej od razu wyjaśnić. Czego nie rozumiesz napisz to postaram się teraz łopatologicznie wytłumaczyć.

Paulina: najpierw badam x<−3 |−x−3−2|−x−1 |−x−5|−x−1

ZKS: Teraz trzeba rozpatrzeć |−x − 5| = |x + 5| pamiętając już że x < −3.

Paulina: i potem x dla x≥3 muszę x<−5 i x>−5

ZKS: Jeżeli x ≥ −3 to już nie rozpatrujesz |x + 5| ponieważ wartość w środku modułu będzie dodatnia. Rozpatrujesz przypadki kiedy x < − 3 ponieważ dla kiedy x < − 3 ∧ x < −5 to wartość w module jest ujemna natomiast dla x < −3 ∧ x ≥ 5 wartość w module jest nieujemna.

Mila: Pierwszy etap ||x+3|−2|+|x+1|=m⇔||x+3|−2|=−|x+1|+m Metoda graficzna: f(x)=||x+3|−2| y=x+3→S_OX dla y<0→y=|x+3|→T_[0,−2]→y=|x+3|−2→S_OX dla y<0⇒ f(x)=||x+3|−2|

Mila: f(x)=||x+3|−2| Drugi etap obydwa wykresy w jednym układzie wsp. g(x)=−|x+1| h(x)=−|x+1|+m przesuwamy wykres g(x) do góry i obserwujemy kiedy przetnie zielony wykres w dwóch punktach. Zauważ, że odpowiednie "gałązki" zielonego i czerwonego wykresu są równoległe. a) dla m=0 jest jeden punkt wspólny b) dla m∊(0,4) są dwa punkty przecięcia⇔są dwa rozwiązania równania : ||x+3|−2|=−|x+1|+m c) dla m=4 czerwona lewa gałązka pokryje się z odcinkiem AB− nieskończenie wiele rozwiązań. Narysuję to przesunięcie o wektor [0,4] i mamy y=−|x+1|+4 d) dla m>4 są dwa punkty przecięcia⇔są dwa rozwiązania.

Paulina: Przepraszam, że od razu nie odpisałam. Mogę tak przerzucać na drugą stronę ?

ZKS: Jasne nikt tego nie broni.

Paulina: Ale pytanie skoro mam −|x+1| to czemu mam odbijać go względem osi OX skoro on znajduję się pod osią i nie mam tam już żadnego modułu przecież ?

ZKS: U mnie zbierając wszystko do kupy mamy dla x ∊ (−∞ ; −5) f(x) = −2x − 6 dla x ∊ [−5 ; −3) f(x) = 4 dla x ∊ [−3 ; −1) f(x) = −2x − 2 dla x ∊ [−1 ; ∞) f(x) = 2x + 2. Teraz narysować tę funkcję w określonych przedziałach.

ZKS: Ale gdzie masz napisane że masz go odbijać? mając funkcję h(x) = −|x + 1| przesuwasz ją do góry i do dołu a wtedy otrzymujesz funkcję g(x) = −|x + 1| + m.

Paulina: Dziękuję już wszystko zrozumiałam

ZKS: Jak masz jakieś zadanie jeszcze to napisz bo niedługo już będę szedł.

Paulina: z resztą już sie uporam sama

ZKS: Powodzenia.

Paulina: Dziękuję.