funkcja kwadratowa Jednorożec Michał: Wykaż ,że : a) jeśli x + y = 2 to x³ + x³ ≥ 2 b)jeśli x − y = 5 to x³ − y³ ≥ 31,25

PW: a) (x+y) > 2 ⇒ (x+y)³ > 2³ (bo funkcja u³ jest rosnąca), licz dalej.

PW: Prostuję, założenie było x+y = 2, więc zaczynamy od (x+y)³ = 8.

Jednorożec Michał: x+y = 2 (x+y)³ = 2³ x³ + 3x²y + 3xy² + y³ = 8 x³ + y³ + 3xy(x+y) = 8 jak dalej przekształcać ?

PW: Teraz się zastanowić, co taki napis znaczy. Gdyby xy < 0 (a może tak być, nic nie zakładają o x i y), to 3xy(x+y) < 0 −3xy(x+y) > 0 Nasze równanie ma postać równoważną x³ + y³ = 8 − 3xy(x+y) Oznaczałoby to, że x³ + y³ > 8 (bo jest sumą 8 i liczby dodatniej). Tym bardziej więc x³ + y³ > 2 − w tym przypadku twierdzenie jest prawdziwe. Weźmy więc xy>0 − dalej Ty.

PW: Wskazówka. x>0 i y>0, y=2−x. Jaka jest największa wartość iloczynu xy = x(2−x)?

Jednorożec Michał: Pewnie źle to rozumie ale czy to ma być coś takiego ? 3xy(x+y) < 0 x³ + y³ = 8 + 3xy(x+y) x³ + y³ > 8

PW: Wracamy do podstawowej równości x³+y³+3xy(x+y) = 8. Wiemy, że (x+y) = 2, możemy więc napisać x³+y³+6xy = 8. Czytaj teraz wskazówkę.

Jednorożec Michał: no jesli x > 0 i y > 0 ,a także y=2−x to jedynie 1 spełnia te równanie 1=2−x x=1 tak samo w przypadku x³+y³+6xy = 8 8=8

PW: Wytłumaczmy to lepiej: funkcja f(x) = x(2−x) osiąga maksimum dla x=1. Wiemy to z własności funkcji kwadratowej, dobrze by było w rozwiązaniu narysować wykres funkcji f na przedziale (0,2). Tym samym prawdziwa jest nierowność 6xy = 6x(2−x) ≤ 6 − 6xy ≥ −6 Wobec tego równość x³+y³+6xy = 8 pozwala wnioskować, że x³+y³ = 8 − 6xy ≥ 8 − 6 = 2, co kończy dowód.

ZKS: To jeszcze ja przedstawię inny sposób. Wiemy że

	x + y
x + y = 2 ⇒		= 1
	2

teraz korzystamy z nierówności pomiędzy średnimi średnia potęgowa rzędu 3 ≥ średnia potęgowa rzędu 1

3√x3 + y3		x + y
	≥		= 1 / 3
3√2		2

x3 + y3
	≥ 1
2

x³ + y³ ≥ 2

Jednorożec Michał: dzięki wielkie, ide teraz to trawić

pigor: ..., lub tak : x+y=2 ⇒ y=2−x , wtedy x³+y³= x³+(2−x)³= x³+8−12x+6x²−x³= 6x²−12x+8= 6x−12x+6+2= = 6(x²−2x+1)+2= 6(x−1)²+2 ≥2, przy czym równość ⇔ x=1=y c.n..w.

PW: Krótko i węzłowato. . Jednorożcu, weź lepiej do serca sposób pigora

pigor: ..., no to b) jeśli x−y= 5 , to x³−y³ ≥ 31,25 wtedy x−y=5 i y=x−5 i x³−y³= (x−y)(x²+xy+y²)= 5[x²+x(x−5)+(x−5)²] = = 5(2x²−5x+x²−10x+25)= 5(3x²−15x+25)= 15(x²−5x+²⁵₃) = = 15[x²−2x*⁵₂+(⁵₂)²−²⁵₄+²⁵₃] = = 15(x−⁵₂)²+15(¹⁰⁰₁₂−⁷⁵₁₂) = 15(x−⁵₂)²+15*²⁵₁₂ = = 15(x−³₂)²+5*²⁵₄ = 15(x−³₂)²+5*6¹₄ = = 15(x−³₂)²+31¹₄ = 15(x−1,5)²+31,25 ≥ 31,25, gdzie równość zachodzi gdy x= 1,5 i y= −3,5 . ... c.n.w.

henu kotus: chuj