Zdanie z matury 2011 Type: Rozwiąż równanie 2sin²x−2sin²xcosx=1−cosx w przedziale <0,2π>. Wyciagam 2sin²x przed nawias i otrzymuje 2sin²x(1−cosx)=1−cosx. I tu mam pytanie. Dlaczego nie moge podzielic calosci przez (1−cosx) tylko musze przeniesc 1−cosx na lewa strone?

Marcin: Nie lepiej zapisać sin²x, jako 1−cos²x? (jedynka tryg.)

Type: no wlasnie szybciej bedzie jak sie wyciagnie przed nawias . ale nie wiem czemu nie moge pozniej podzielic przez 1−cosx

Wazyl: Bo dzieląc przez 1−cosx wywalasz wszystkie miejsca zerowe wyrażenia 1−cosx które moga być rozwiązaniem

Type: hm czyli np w rownaniu x²(1−x)=(1−x) tez nie moge podzielic? Czyli jak jest x w wyrazeniu to nie mozna dzielic?

PW: Możesz − po sprawdzeniu "co by było gdyby". Co by było gdyby 1 − cosx = 0? cosx = 1 i mielibyśmy równanie 2sin²x − 2sin²x = 0 − tożsamościowe (prawdziwe dla wszystkich x). Wynik rozważań: jeżeli 1 − cosx = 0, to równanie jest spełnione dla wszystkich x (czytaj: dla wszystkich x z dziedziny, którą wtedy jest zbiór rozwiązań równania 1 − cosx = 0, to znaczy x = 0 lub x = 2π. Po zanotowaniu tej części rozwiązania możemy podzielić i rozwiązać równanie 2sin²x = 1, x∊(0, 2π). Pytanie − czy warto wyczyniać takie wygibasy? Po przeniesieniu na lewą i wyłączeniu mamy 2(sin²x−1)(1−cosx) = 0 − rozwiązanie tego tłumaczy się prościej.

Type: ok dzieki , tylko jak robilem to zadanie to od razu podzielilem, nie wiedzialem ze to trzeba przenosic albo sprawdzac 1−cosx=0

PW: No to zgubiłeś rozwiązania x₁ = 0 i x₂ = 2π.

Type: no dokladnie, czyli rozumiem, ze jak trzeba rozwiazac rownanie to nie mozna dzielic przez wyrazenie z x?

Type: chodzi mi o kazdy rodzaj rownania, nie tylko trygonometryczne

PW: Generalnie rzecz biorąc nie można (chyba że wiemy np. że jest dodatnie lub ujemne dla wszystkich x). Śmiało można dzielić przez (x² + 5) − piszemy "bo wiadomo, że x²+5 ≠ 0". Uzasadnienie przy nierównościach musi być dokładniejsze, bo w zależności od znaku wyrażenia, przez które dzielimy, nierówność może się zmienić na przeciwną. Żeby uniknąć tych zasadzek specjaliści od nauczania mówią: nie kombinuj, przenieś wszystko na lewą stronę, przyrównywania do zera jest znacznie łatwiejsze.