Reszta z dzielenia Uczę się: Reszta z dzielenia wielomianu W(x) przez dwumian (x+3) jest równa 1 natomiast z dzielenia przez dwumian (x−1) jest równa 5. Wyznacz resztę z dzielenia wielomianu W(x) przez wielomian (x+3)(x−1) x=(x+3)k+1 y=(x−1)k+1 dobrze zacząłem?

52: W(−3)=1 W(1)=5 dalej mam zastój...

Wazyl: W(x)=P(x)(x+3)(x−1)+ax²+b W(1)=a+b i tak dalej....

52: albo... R(x)=ax+b −3a+b=1 a+b=5 ____________ −4a=−4 a=1 b=4 R(x)=x+4 ale nie wiem czy to dobrze

Uczę się: i tak nie rozumiem

Mila: Reszta z dzielenia W(x) przez (x+3)(x−1) może mieć postać : R(x)=ax+b W(x)=(x+3)*(x−1)*P(x)+R(x) W(−3)=1⇔R(−3)=1 W(1)=5⇔R(1)=5 ⇔−3a+b=1 i a+b=5⇔ a=1 i b =4 R(x)=x+4 Wszystko jak u 52

Wazyl: 52 napisaliśmy to samo. Uczę się bardzo dobrze że się uczysz! Wszystko polega na tym że wielomian W(x) możemy przedstawić za pomocą iloczynu dwóch wielomianów i reszty. W(x)=P(x)*Q(x)+R(x) Czyli: W(x)= P(x) * (x+3) +1 W(−3)=P(−3)*0+1 ⇒ W(−3)=1 Tak samo W(1). Teraz to o co nas pytają: W(x)=K(x)*(x+3)(x−1)+R(x) Reszta z dzielenia wielomianu stopnia n−tego przez wielomian stopnia 3 może być co najwyżej 2 stopnia (18.49 mam gafe, powinno być ax+b) Czyli reszte z dzielenia wielomianu przez wielomian 2 stopnia przedstawiamy w postaci ax+b. W(1)=K(1)*(1+3)(1−1)+a*1+b Tak samo dla 3. I otrzymujemy układ równań

52:

Uczę się: A czemu −3 i 1. Rozumiem że to z tych nawiasów, ale to zostały policzone miejsca zerowe. Czy w tym przypadku są one aż tak potrzebne? Czy gdybyśmy mieli do wyznaczenia resztę z dzielenia ale przez wielomian pierwszego stopnia to było by to: W(x)=(x+3) ⇒ x=−3 ⇒W(−3)=0 Pomału zaczynam rozumieć. Też pamiętam były zadania tego typu ale trzeba było pisać właśnie z zmienną "k" + reszta

Wazyl: Tak. Zgubiłeś tylko "P(x)" czyli nasz wielomian który powstanie gdy podzielimy W(x) przez x+3. Ogólnie zasadę o stopniu wielomianu napisałem powyżej i bierzemy zawsze "najwyższą opcję" tzn. dla gdzy dzielimy W st 8 przez W st 3 to zapisujemy resztę w postaci ax²+bx+c. NIE w postaci ax+b chociaż taka może wyjść (gdy a=0). Po co tak zapisujemy? A no po to żeby wyzerować wielomian przez który dzielimy: W(x)=P(x)(x−3)+a Zerując (x−3) Zerujemy także P(x) którego przecież nie znamy i tak naprawdę on nas nie obchodzi. Podsumowując: Gdy nasz podane W(3) i W(1) i W(4) i masz obliczyć resztę z dzielenia W(x) przez (x−3)(x−1)(x−4) to zapisujesz W(x)=P(x) * (x−3)(x−1)(x−4) +ax²+bx+c. Podstawiając wartości pod "x" pozbywasz się P(x) i tego wielkiego tasiemca i zostaje Ci sama reszta. ( za x w reszcie tez wstawiasz wartość ) i rozwiązujesz układ równań. Moja uwaga! Czasami wielomian przez który się dzieli zapisany jest nie w postaci iloczynowej: Przykład: (x−3)(x−1)(x−4)=x³−8x²+19x−12 [o ile się nie pomyliłem bo mnożyłem na kolanie] Wtedy trzeba poznajdywać miejsca zerowe tego wielomianu i popodstawiać do W(x) Rozumiesz

Uczę się: jasne, dzięki !