DOMELKI DLA MATURZYSTÓW − 3 − MINIMUM Domel: DOMELKI DLA MATURZYSTÓW − 3 − MINIMUM Liczbę 12 przedstawić w postaci iloczynu takich dwóch liczb rzeczywistych dodatnich aby suma czynników tego iloczynu była najmniejsza

Saizou : dla 2 i 6

pawel95: 2√3 i 2√3

52: możesz zapisać obliczenia ?

pawel95: 12 = a*b i a + b ma byc jak najmniejsze ( a + b )² = ( a − b )² + 48 najmniejsze dla a = b , wiec a² = 12 => a = 2√3

Saizou : można też z nierówności o średnich am≥gm

12   x+   x		12
	≥√x*
2		x

x²≥12 a skoro x>0 to x≥2√3 zatem minimalna wartość x=2√3

Domel: Uważaj Saizou masz mocną konkurencję

Saizou : dlatego biję brawo a no jest jeszcze parę osób na forum lepszy ode mnie np. zombi

Trivial: Można pochodną.

	12		df		12
f(x) = x +				= 1 −		= 0 x2 = 12 x = 2√3.
	x		dx		x2

Saizou : Trivial od kiedy pochodne w LO w roczniku 95 ?

Maslanek: Ale żeś się wyuczył tych średnich Chyba muszę trochę porozwiązywac coś z nimi, bo czuję zaległości

Saizou : a tak jakoś samo przyszło

Trivial: Saizou, a jakieś zależności między średnimi są?

zawodus: Gdzie na maturze? − oczywiście, że nie ma

Domel: Zad. 2. Ze wszystkich trójkątów, dla których suma długości wysokości i podstawy jest równa „b”, wybrać trójkąt o największym polu.

Player: powiedz jak to zrobic

Wazyl: Ze średnich: a+h=b ; a,h >0

a*h		b2
	≤
2		4

Jest ok?

Wazyl: Stosunek jest jak 2:1

Ajtek: Rozwiązać .

Wazyl:

	b2
Trójkąt o największym polu miałby pole		.
	4

Player: Dzieki

a+h
	≤ √ah / 2
2

b2
	≤ ah / 2
4

b2
	≤ PΔ
8

Domel: Znaki nie tak powinno być − zgodnie z ciągiem średnich:

a+h
	≥ √ah
2

Domel: I wyjdzie

	b2		b2
PΔ ≤		więc max PΔ =
	8		8

Domel: Zad. 3 Jaki prostokąt o obwodzie równym 36 ma najkrótszą przekątną?

pawel95: Dzieki a+b=18 d = √a² + b² = √(a+b)² − 2ab = √(18)² − 2P najmniejsza przekatna dla najwiekszego pola najwieksze pole dla a = b = 9 ( f(a) = −a² + 18a )

pawel95: Dzieki co to za Dzieki? Player tez to masz?

Domel: Zad. 4 Wyznaczyć dwie liczby takie, aby różnica ich była równa „a” a iloczyn możliwie najmniejszy

Domel: Jak tam z ekstremami?

Saizou : x−y=a⇒x=a+y f(x,y)=xy f(y)=y(a+y)=y²+ya f'(y)=2y+a=0

	a
y=−
	2

	a
x=
	2

Eugeniusz : dobrze

Domel: A może bez pochodnych − tego nie ma na maturze

Domel: Saizou zawsze tak ładnie dawałeś średnimi No a odejmowanie to przecież też forma dodawania

Saizou : pójdźmy jeszcze prościej f(x)=y²+ya

	−a
funkcja kwadratowa wiec min xw=		(bo współczynnik przy y2 >0)
	2

pawel95: lub tak jak poprzednie zadanie x − y = a xy − ma byc jak najmniejsze a² = ( x − y )² = ( x + y )² − 2xy, najmniejsze dla x = −y x = a/2 , y = −a/2