DOMELKI DLA MATURZYSTÓW - 2 - UKŁADY RÓWNAŃ Domel: DOMELKI DLA MATURZYSTÓW − 2 − UKŁADY RÓWNAŃ Rozwiąż układ równań: _{______}

	/x − y		20
x − y + √		=
	x + y		x + y

x² + y² = 34

pawel95: x=5 y=−3

zawodus : Brakuje metody rozwiązania

Wazyl:

√x−y		√x−y		√x+y		√x2−y2
	=		*		=
√x+y		√x+y		√x+y		x+y

x2−y2+√x2−y2−20
	=0
x+y

x²−y²+√x²−y²−20 t=√x²−y² ; t≥0 t²+t−20=0 Δ=81 t=4 v t=−5 √x²−y²=4 x>y x²+y²=34 x²−y²=16 x²+y²=34 ⇒2x²=50 x=5 v x=−5 y=3 v y=−3 Odp x=5 y=3

Wazyl: Coś jest nie tak Cofamy się− 2x²=50 ⇒ x=5 v x=−5 x=5 y=3 v y=−3 x=−5 y=3 v y=−3 Z założenia p(x−y}≥0 Odpadają nam 2 z x=−5. Podnosząc do kwadratu wyprodukowałem jeszcze jedno błędne rozwiązanie : x=5 y=3 Odp= x=5 y =−3

zawodus: Rozwiązań jest 4

Wazyl: Nie głupoty piszę! x=5 y=3 nie odpada! Sugerowałem się pawłem. Sprawdziłem wszystko gra. zawodus mi wyszły 2. Gdzie mam błąd?

zawodus: Przejście z pierwiastkiem nie jest równoważne

zawodus: Twoja część jest ok, ale to dopiero połowa zadania.

Wazyl: W którym miejscu?

Domel: zawodus ma rację − rozwiązania są cztery Poza tym dlaczego Wazyl odrzucasz t = −5 − przecież założyłeś, że t = √x² − y² a nie t = x² − y². W takim razie pierwiastek kwadratowy z każdej liczby ma rozwiązanie dodatnie i ujemne (u nas +4 i −5)

Trivial: Domel, przyjmuje się, że √x ≥ 0. Błąd jest tutaj:

	x−y		(x−y)(x+y)		√x2−y2		√x2−y2
√		= √		=		= sgn(x+y)		.
	x+y		(x+y)2		|x+y|		x+y

pigor: ..., lub np. tak : określam dziedzinę układu : ^x−y_x+y ≥0 /*(x+y)²>0 i x+y≠0 ⇔ (x−y)(x+y) ≥0 i y≠−x ⇔ ⇔ x²−y² ≥0 i y≠−x ⇔ |y|≤ |x| i y≠−x ⇔ D={ (x,y): −|x|≤ y≤ |x| i y≠−x } i dany układ jest równoważny kolejno : x−y+√^x−y_x+y=²⁰_x+y /* x+y=(√x+y)² >0 i x²+y²=34 ⇔ ⇔ x²−y²+√x²−y²= 20 i x²+y²= 34 ⇔ ⇔ (√x²−y²)²+ √x²−y²−20= 0 i x²+y²= 34 ⇔ ⇔ (√x²−y²)²−(−1)√x²−y²−5*4= 0 i x²+y²= 34 ⇔ ⇔ √x²−y²=−5<0 v √x²−y²=4 i x²+y²=34 ⇒ √x²−y²=4 /² i x²+y²=34 ⇔ ⇔ x²−y²= 16 i x²+y²=34 /± stronami ⇔ 2x²= 50 i 2y²= 18 ⇔ ⇔ x²=25 i y²=9 ⇔ |x|=5 i |y|=3 , stąd i z D ⇔ ⇔ (x,y)∊{(5,3), (−5,3), (5,−3), (−5,−3)} . ...

Trivial: pigor, coś nie bardzo − rozwiązania (−5,3) i (−5,−3) nie działają.

Domel: pigor myślę, że wg sugestii Triviala powinieneś rozpatrzyć przypadki:

	√x2 − y2		20
1a) x − y +		=
	x + y		x + y

	√x2 − y2		20
1b) x − y −		=
	x + y		x + y

2 x² + y² = 34

pigor: ..., macie rację, zbyt nonszalancko potraktowałem ten mianownik "dużego" pierwiastka ufając tylko dziedzinie , a trzeba było jednak najpierw usunąć niewymierność z niego jak to zrobił Trywial, to by mi się pojawił moduł mianownika, co dało by mi alternatywnie znak minus " − " przed tym pierwiastkiem, a tak to nie zamierzając ... "oszukałem" ...

Wazyl: Trivial opuściłem tą wartość bezwzględną z założenia że x+y>0 (pierwiastek). Znalazłem mój błąd: nie zrobiłem dla przypadku gdy x−y<0 i x+y<0

Domel: Zad. 2

	π
Dla jakich α∊<0;		> równanie:
	2

x²*sinα + x + cosα = 0 ma dwa pierwiastki rzeczywiste?

Piotr 10: sinα≠0 Δ=1 − 4sinαcosα = 1 −2sin2α > 0 itd

Domel: No i kto dokończy?