Trójkąt Pudelek i Piotr: Porachuj kąty(α,β,γ) trójkąta,jeśli wiadomo,że: 1) sinαsinβ=a 2) cosαcosβ=b 3) α=4β

	√6+√2
4) a−b=
	4

Obywatel: Wykonać karnie polecenie,albo nie podejmować się zadania I tak trzymać

PW: Z 1) i 2) wynika, że a−b = sinαsinβ − cosαcosβ (5) a−b = −cos(α+β) Z (5) i 4)

	√6+√2
(6) −cos(α+β) =		,
	4

a ponieważ

	√6+√2
		= cos15°,
	4

równość (6) oznacza, że −cos(α+β) = cos15° Wynika stad, że cos(α+β) jest liczbą ujemną, co oznacza że α+β > 90°, a więc α+β = 105°. Stąd i z 3) 4β + β = 105° 5β = 105° β = 11° zatem α = 44°. Spocznij.

PW: Oj, mało karny jestem, jeszcze nie "spocznij". Należało wyliczyć także kąt γ, ale tego nie umiem − przecież nic nie ma o nim w treści zadania

ICSP: a ile wynosi suma miar kątów w trójkącie ?

Porucznik Antoś: (6) STOP Przyjrzyj się dokładnie wzorowi i dopisz ...

	√6+√2
−cos(α+β)=cos[180o−(α+β)]=cosγ=
	4

	√6+√2
γ=arccos
	4

α=⁴₅(180^o−15^o) β=¹₅(180^o−15^o) Oczywiście γ=arc...powinna być kreska ułamkowa ,ale jakaś technicznie uprzywilejowana odbytnica,grasująca po forum i internecie ją zlikwidowała

PW: Kapitanie Antoś, zgadzam się że nie dochowałem należytej staranności i opuściłem drugą wersję, mianowicie z równości (6') − cos(α+β) = cos15° wynika również możliwość α+β = 165°, co skutkuje drugą wersją odpowiedzi: α = 140° i β = 35° i γ = 15°. W dodatku w swoim rozwiązaniu popełniłem fatalny błąd rachunkowy, mianowice z równości 5β = 105 wyliczyłem β=11° zamiast β=21°. Pewnie stuknąłem w sąsiedni klawisz, a wyliczenie α było już konsekwencją tego błędu. Prostuję więc: α=84°, β=21°, γ = 75°. Stanowczo nie zgadzam się jednak z Twoim rozumowaniem, że skoro

	√6+√2
cosγ =		,
	4

to

	√6+√2
(7) γ = arccos		.
	4

Niestety, funkcja cosinus przyjęta do definicji funkcji odwrotnej arcuscosinus została

	π		π
z konieczności (różnowartościowość) obcięta do przedziału (−		,		). Wyciągając
	2		2

wniosek (7) ograniczyłeś γ tylko do kątów ostrych, a jak widać możliwe są dwie wersje. Nie stosuję z tego względu funkcji cyklometrycznych, gdy mowa o kątach trójkąta (zresztą to chyba było zadanie na poziomie liceum, więc trudno wymagać od ucznia znajomości tych funkcji). Melduję, że u mnie kreska ułamkowa jest widoczna, widocznie odbytnica już ją wydaliła z powrotem.

PW: Majorze litościwy, nie bij. Położyłem się spać i przyśniło mi się, że znowu pomyliłem się w dzieleniu. Wstaję − patrzę − i rzeczywiście 5β = 165° β = 33° α = 132°, β = 33°, γ = 15°.

Sylwia i Renata: Fakt,że funkcja arccos jest amputowana do wzmiankowanego wyżej przedziału,jest bardzo dogodny przy liczeniu kątów trójkąta

	√6+√2
wynika stąd że skoro cosx =		to x=arc...
	4

	√6+√2
ale gdyby sinx=		to jest inna rozmowa
	4

PW: Tak, masz rację. Widziałem "przed oczyma duszy mojej" sinus i arcus sinus (stąd przedział

	−π		π
(		,		), a pisałem o funkcji cosinus, która jest odwracana na (0,π), coś to
	2		2

zadanie jest pechowe dla mnie. Zamiast po prostu narysować wykres cosinusa na przedziale (0,π) − widać jasno że jest jedno tylko rozwiązanie równania (6), (α+β)=165° − zacząłem poprawiać … − wykonywałem jakieś głupie operacje "w głowie". Nie cierpię tutaj rysować, nic mi nie wychodzi. Muszę więc odszczekać − jest tylko jedno rozwiązanie − to z 5 marca 16:05.