Maturalne zadanie Paulina: Oblicz, ile jest liczb naturalnych ośmiocyfrowych takich, że iloczyn cyfr w ich zapisie dziesiętnym jest równy 12 Czy to winno być tak: 2,6,1,1,1,1,1,1 lub 3,4,1,1,1,1,1,1 lub 3,2,2,1,1,1,1,1 I zliczać

8 1		6 6
	*{7}{1}*		+

8 1		7 1		6 6
	*		*		+

8 2		6 1		5 5
	*		*		?

Paulina: ?

Paulina: Pomoże ktoś ? Jest tu ktoś ?

Mila: Dobrze.

Paulina: Dziękuję Ci ślicznie bo dla mnie to ważne ze względu na jutrzejszą maturkę

Paulina: A pomogłabyś mi z tym ? Ile jest liczb sześciocyfrowych, które mają cztery cyfry parzyste i dwie nieparzyste? dwa przypadki na pierwszym miejscu parzysta+na pierwszym miejscu nie parzysta ? Tylko nie wiem jak zapisać dalej mam takie coś dla pierwszej parzystej Na pierwszym miejscu jedna z {,2,4,6,8,} ?

Mila: 1) (n,xxxxx) Pierwsza cyfra nieparzysta − na 5 sposobów,

	5 1
dla drugiej nieparzystej wybieramy miejsce		i cyfrę nieparzystą na 5 sposobów, następnie

4 parzyste na 5⁴ sposobów, czyli:

	5 1
5*		*5*54=57

	5 2
2) pierwsza cyfra parzysta na 4 sposoby,		−wybór miejsca dla 2 nieparzystych, i wybieramy

je na 5*5 sposobów, na pozostałe miejsca 3 parzyste na 5³ sposobów, czyli

	5 2
4*		*52*53=40*55

Łącznie 5⁷+40*5⁵=...

Paulina: Czyli dla nieparzystych mam N,x,x,x,x,x

5 1		5 1
	*		rozumiem tylko do tego momentu.

Mila: (NppppN) pierwsza cyfra nieparzysta na 5 sposobów wybrana, drugą masz gdzieś umieścić tez na 5 sposobów, po wybraniu dla niej miejsca , wybierasz jedną ze zbioru{1,3,5,7,9} na 5 sposobów, na pozostałych miejscach są 4 parzyste na 5*5*5*5 sposobów ( każdą wybierasz ze zbioru{0,2,4,6,8})

Paulina: Wiem, że napisałaś dobrze ale ja jakoś nie mogę tego zrozumieć choć się staram.

Paulina : Jak to się ma do zadania 21:40 bo z tamtym nie miałam problemu, może jakoś zrozumiem ?

Mila: Tam wybierałaś miejsce tylko dla 2 i 6 a na pozostałych miejscach były jedynki, a tu musisz wstawić na pozostałe miejsca różne cyfry.

Paulina : I teraz jeszcze myślę, że powinno być

6 1
	? bo liczba jest 6−cyfrowa

Mila: Na pierwszym miejscu już ustawiłaś cyfrę, zapełniasz pozostałe 5 miejsc, zrób to na konkrecie.

Paulina: Ok

Paulina: Zostawię chyba ten przykład bo wydaję się za trudny troszkę

Paulina: Doceniam Twoją pracę ale nie w ząb. dla takiego zapisu nie mogę zrozumieć.

PW: Ile jest liczb sześciocyfrowych, które mają cztery cyfry parzyste i dwie nieparzyste? Policzmy na początek ile jest ciągów sześcioelementowych, których elementami sa 4 cyfry parzyste i dwie nieparzyste. Wystarczy wskazać miejsca na liczby parzyste − można to uczynić na

	6 4

sposobów (miejsca na liczby nieparzyste to pozostałe z sześciu miejsc). Przy każdym takim wyborze miejsca przeznaczone na liczby parzyste możemy obsadzić na 5⁴ sposobów, a miejsca na liczby nieparzyste można obsadzić na 5² sposobów (wariacje z powtórzeniami, odpowiednio 4− i 2−elementowe o wartościach w zbiorach 5−elementowych). Tak więc można utworzyć

	6 4
(1)		•54•52 = 15•56

takich ciągów. Niestety ciągi sześciocyfrowe nie są dobrym modelem liczby sześciocyfrowej − od liczby (1) należy odjąć liczbę tych ciągów sześciocyfrowych (spełniających warunki zadania), które mają na pierwszym miejscu 0. Metoda liczenia ta sama − pierwsze miejsce już jest obsadzone przez 0, spośród pozostałych pięciu wybieramy 3 miejsca na liczby parzyste (tylko trzy, bo zero już jest liczbą parzystą), co można uczynić na

	5 3

sposobów. Obsadzenie wszystkich 3 miejsc liczbami parzystymi może być dokonane na 5³ sposobów, a pozostałych 2 miejsc liczbami nieparzystymi − na 5² sposobów. Tak więc można utworzyć

	5 3
(2)		•53•52 = 10•55

ciągów o pierwszym elemencie równym 0, w których są 4 liczby parzyste i 2 nieparzyste. Różnica liczb (1) i (2) daje odpowiedź: 15•5⁶ − 10•5⁵ = (15•5 − 10)•5⁵ = 65•5⁵ = 13•5⁶. Piszę oczywiście to samo co Mila i wynik jest ten sam, tylko jestem gadatliwy.

Paulina: Moja nauczycielka nawet tak nie tłumaczy jak Mila, a jestem w lo na mat−fiz Dziękuję Wam.

Eta: Gadatliwy? .......... nawet baaaaaaaaaardzo

Paulina: Tylko, żebym jeszcze ja to tak wszystko pojmowała jak Wy piszecie to miód malina

PW: Obawiam się jednak, że nie jest to dobry wynik. Ciąg (0,0,1,3,5,9) też nie jest dobrym modelem liczby 6−cyfrowej. − za wcześnie krzyknąłem. Należy kontynuować odejmowanie liczby ciągów rozpoczynających się zerami aż dojdziemy do ostatnich możliwych w tym zadaniu, to znaczy rozpoczynających się czterema zerami. Co na to powie Mila? Zadanie chyba za trudne na maturę.

Mila: 22:27 podałam dobry sposób, Paulina dzisiaj nie może zrozumieć, do maja daleko, na pewno zrozumie, bo widać ,że chce.

Paulina: A kto powiedział, że mamy ograniczać się od matury ? Można trochę wyżej żeby lepiej zrozumieć. Moja Pani mówi tak: Mowi ze matura jest zalosna dla dzieci wątłych

Mila: DOBranoc Powodzenia jutro.

PW: A licho, chyba wątpliwości mam niepotrzebne (23:55). Przecież odejmując liczbę ciągów zaczynających się jednym zerem odjęliśmy i te, które się zaczynają dwoma zerami i trzema, i czterema tyż. Północ blisko.

Paulina: Dziękuję,jeszcze przez godzinkę porobię zadania sobie, może ktoś na forum mi pomoże

Paulina: Jak można takie coś rozpisać

n+8 n+3

Paulina:

(n+3)!(n+6)(n+7)(n+8)
(n+3)!*5!

bo w mianowniku mam (n+8−n−3)=5! ?

Eta:

(n+3)!*(n+4)(n+5)(n+6)(n+7)(n+8)
(n+3)!*5!

Paulina: Mogę mieć pytanie ?

Paulina: Czemu w liczniku po wyrażeniu (n+3)! występuję 5 składników ?

Ajtek: Paulina na lepszych podpowiadaczy trafić nie mogłaś . Witam Eta, PW . Spokojnej nocki Mila .

Eta: A jak rozpiszesz np 8! na 3!*4*5*6*7*8 ( tak? to identycznie to Twoje wyrażenie

Paulina: Widzę właśnie Ja nie pójdę spać dopóki nie zrozumiem bo nie chcę być ''dzieckiem wątłym'' !

Paulina: Ale z tym 8! zależy co mam w mianowniku Jakiś przykład do samodzielnego przećwiczenia ?

Eta: To jedz dużo ....

Ajtek:

72!
	=...
68!

Paulina: Nie jem jabłek wolę mandarynki Ajtek Twój przykład za prosty chodzi o coś z n albo k ?

68!*69*70*71*72
68!*4!

Eta:

6 3		6*5*4
	=
		1*2*3

12 4		12*11*10*9
	=
		1*2*3*4

n+5 n+2		(n+5)(n+4)(n+3)
	=
		1*2*3

Ajtek:

(k+9)!
	=...
(k+2)!*4!

Paulina: Ten ostatni to

n+5 n+2		(n+2)!*(n+3)(n+4)(n+5)
	=		?
		(n+2)!*3!

Paulina:

(k+2)!(k+3)(k+4)(k+5)(k+6)(k+7)(k+8)(k+9)
(k+2)!*7!*4!

Ajtek: U mnie nie było symbolu Newtona, zwykły ułamek .

Paulina: Nie zauważyła, przepraszam

Ajtek: Nie przepraszaj, tylko myśl .

Paulina: Mnie uczono tak popełnisz błąd to przeproś, ktoś coś do Ciebie zrobi podziękuj !

Ajtek: Niech będzie, tylko nie przepraszaj za często

Paulina: Na okręgu zaznaczono sześć różnych punktów. Ile różnych wielokątów wypukłych o wszystkich wierzchołkach w tych punktach można narysować? 4 sytuacje

	6 3
trójkąt		+

czworokąt N{6}[4}+

	6 5
pięciokąt		+

	6 6
sześciokąt

Ok ?

Paulina: Dobrze myślę ?

Ajtek: Wygląda okej.

Paulina: Wygląd to nie wszystko

Paulina: Proszę pomóżcie to ważne

Paulina: ?

PW: Jeden sześciokąt. Pomijając dowolny jego wierzchołek możemy utworzyć pięciokąt, więc jest sześć pięciokątów. Pomijając dowolny wierzchołek pięciokąta możemy utworzyć czworokąt, więc jest

	6•5
		czworokątów. Dzielenie przez 2 jest spowodowane faktem, że np. czworokąt ABCD może
	2

powstać jako wynik opuszczenia E w pięciokącie ABCDE lub opuszczenia F w pięciokącie ABCDF. Na

	6 3
razie się zgadza: 1+6+15 (a trójkąty już policzmy "kombinatorycznie" jako		).

Paulina: Dziękuję.