Rachunek różniczkowy Krzysiek34: Bardzo proszę o pomoc. Udowodnić, że dla x należącego do R jest spełniona nierówność: 2x arctgx jest większe bądź równe ln (1+x²).

Godzio: 2x * arctg(x) ≥ ln(1 + x²) Zdefiniujmy sobie funkcję f(x) = 2x * arctg(x) − ln(1 + x²). Pokażemy, że jej najmniejszą wartością jest 0.

	2x		2x
f'(x) = 2arctg(x) +		−		= 2arctgx
	1 + x2		1 + x2

f'(x) > 0 gdy x > 0 oraz f'(x) < 0 gdy x < 0 Stąd f(x) maleje w przedziale (−∞,0), w punkcie (0,0) osiąga minimum, a następnie zaczyna rosnąć w przedziale (0,∞). Zatem f(x) ≥ 0 ⇒ 2x * arctg(x) − ln(1 + x²) ≥ 0 ⇒ 2x * arctg(x) ≥ ln(1 + x²) dla x ∊ R

Martaa770: Dzięki! Ale mam pytanie−dlaczego tak zapisujemy pochodną? Dodając i odejmując to samo.

Godzio: Oj Marto, ja policzyłem zwykłą pochodną i akurat powstało to samo (proponuję Ci powtórzyć bo bez tego później sobie nie poradzisz )