proszę o rozwiązanie
michał: wykaż że jeśli a i b są dodatnie to 3 ( a2/b2 + b2/a2 ) ≥ 8 ( a/b + b/a ) − 10
2 mar 21:29
bezendu:
Przepisz porządnie to porozmawiamy.
2 mar 21:30
Saizou :
podpowiem że
| a2 | | b2 | | a | | b | |
| + |
| =( |
| + |
| )2−2 |
| b2 | | a2 | | b | | a | |
2 mar 21:44
michał: zadanie jest dobrze napisane jest z podręcznika klasy 2 Kurczab strona 299 zadanie 3
2 mar 21:52
2 mar 22:02
Eta:
| | a | | b | | a | | b | |
|
| + |
| ≥2 /*8 ⇒ 8( |
| + |
| )≥16 |
| | b | | a | | b | | a | |
| | a2 | | b2 | | a2 | | b2 | |
i |
| + |
| ≥2/*3 ⇒ 3( |
| + |
| )≥6 |
| | b2 | | a2 | | b2 | | a2 | |
to ..........
2 mar 22:13
PW: Eta, tajemnicę o nierowności
Saizou chciał zdradzić na końcu, po rozwiązaniu nierówności kwadratowej.
2 mar 22:16
Saizou : 
2 mar 22:17
Eta:
Ile razy jeszcze będzie...."odkrywał tę tajemnicę" ?
2 mar 22:17
Saizou : chciałem ją 'zdradzić' a nie 'odkrywać'
2 mar 22:19
Eta:
2 mar 22:22
michał: dziękuję bardzo ale ja to zrobiłem podstawiającza a2/b2 + b2/a2 wyrażenie ( a/b+b/a) −2 do
wyrażenia
3 ( a2/b2 + b2/a2 ) ≥ 8 ( a/b + b/a ) − 10
i otrzymałem (3 a2 + 3b2 + 8 a2 + 8 b2) / ab ≥ −4
i po redukcji 11 ( a2 + b2 ) ≥ −4ab
czy tak może być a to jest prawda
2 mar 22:31
Saizou :
źle podstawiłeś
2 mar 22:40
michał: a gdzie jest błąd
2 mar 22:51
michał: przeprasza ale to jeszcze inaczej podstawiłem; a/b+b/a = t do wyrazenia
3 ( a2/b2 + b2/a2 ) ≥ 8 ( a/b + b/a ) − 10
i otrzymałem równanie 3t2 − 8t + 4 ≥ 0 t1 = 1/3 a t2 = 2
i co dalej
2 mar 23:05
michał: przeprasza ale to jeszcze inaczej podstawiłem; a/b+b/a = t do wyrazenia
3 ( a2/b2 + b2/a2 ) ≥ 8 ( a/b + b/a ) − 10
i otrzymałem równanie 3t2 − 8t + 4 ≥ 0 t1 = 1/3 a t2 = 2
i co dalej
2 mar 23:06
PW: 2 marca o 21:44 dostałeś wskazówkę:
| | a2 | | b2 | | a | | b | |
|
| + |
| = ( |
| + |
| )2 − 2 |
| | b2 | | a2 | | b | | a | |
− równość ta jest oczywista, wynika z wzoru skróconego mnożenia.
Podstawiając to do badanej nierówności otrzymujemy
| | a | | b | | a | | b | |
3( ( |
| + |
| )2 − 2) ≥ 8 ( |
| + |
| )2 − 10. |
| | b | | a | | b | | a | |
Podstawiając dla uproszczenia zapisu
zobaczymy nierówność
3(t
2 − 2) ≥ 8t − 10
3t
2 − 6 − 8t + 10 ≥ 0
3t
2 − 8t + 4 ≥ 0
− dostałeś ją w ostatniej próbie. Jak wiadomo nierówność ta − rozpatrywana dla wszystkich t∊R −
| | 1 | |
jest prawdziwa dla t∊(−∞, |
| >∪<2,∞). |
| | 3 | |
Nas interesują tylko t z tego drugiego przedziału, gdyż (to już nie jest tajemnica) wiadomo, że
| | a | | b | |
t = |
| + |
| ≥ 2 dla a, b > 0. |
| | b | | a | |
Odpowiedź: badana nierówność jest prawdziwa dla wszystkich a, b > 0.
3 mar 16:40