Metryka ed123456: Dla jakich a>0 funkcja |x−y|, dla |x−y|≤1 d(x,y)= a, dla |x−y|>1 jest metryką na prostej rzeczywistej? Metryka ta zawsze jest dodatnia, symetryczna i oznaczona. Mam problem tylko z warunkiem trójkąta. Jak wyznaczyć to a?

PW: Ma być prawdą (dla wszystkich x,y,x∊R) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y). Przed próbą dowodu zacząłbym od sprawdzenia na konkretnych liczbach, np. jak to będzie wyglądać dla x=1, y=2, z =4, a jak dla x=1, y=3, z =2.

ed123456: Ale ja nie mam dowieźć, że to jest metryka, tylko wyznaczyć a, dla których funkcja jest metryką.

PW: No to nie zrozumiałeś podpowiedzi.

ed123456: Nie tyle co jej nie zrozumiałem, ale nic mi ona nie dała, bo sprawdziłem sobie dla kilku przykładowych liczb, jednak dalej nie widzę, jakie warunki musi spełniać a. Żeby sprawdzić sobie dla wybranych x, y, z, muszę ustalić sobie a. Na przykład dla a=0,1 funkcja nie jest metryką, bo dla x=0,8, y=2, z=1,5 warunek trójkąta nie jest spełniony. Czy jest jakiś sposób wypisania, jakie warunki musi spełniać a, czy trzeba po prostu rozpisać wszystkie możliwe przypadki w zależności od x, y i z?

PW: (1) d(x,y) ≤ d(x,z) + d(z,y) x=1, y=2, z =4 dają |1 − 2| ≤ a + a 1 ≤ 2a.

	1
Wniosek: jeżeli nierówność (1) ma być spełniona dla wszystkich x, y, z, to musi być a ≥
	2

(w przeciwnym wypadku wskazana trójka liczb nie spełniałaby nierówności). Mogę tylko skomentować: pytasz − podpowiadam − a Ty swoje. To nie jest rozwiązanie, ale podpowiedź była dobra − jakieś ograniczenie dla a już mamy. Sprawdź, proszę, następną proponowaną trójkę liczb. Potem spróbuj ustalić, czy te ograniczenia nie wymagają "polepszenia" i dopiero po postawieniu tezy − jaka powinna być a − można przeprowadzić dowód.