przeksztalcenia zadanie: 1. Dane jest przeksztalcenie liniowe T przestrzeni R³ oraz wektory X; Y;Z takie, ze T(X) = T(Y ) = T(Z) = 0. Uzasadnij, ze (a) dla kazdej liczby rzeczywistej t zachodzi T(tX) = 0; (b) T(X + Y + Z) = 0; (c) jesli W jest dowolna kombinacja liniowa wektorów X; Y;Z to T(W) = 0. a) z jednorodnosci: T(tX)=0 tT(X)=0 t*0=0 0=0 b)z addytywnosci: T(X+Y+Z)=T(X)+T(Y)+T(Z)=0+0+0=0 c) W=tX+sY+rZ z jednorodnosci: T(W)=T(tX)+T(sY)+T(rZ)=tT(X)+sT(Y)+rT(Z)=0+0+0=0 dobrze? 2. Uzasadnij, ze jesli przeksztalcenia T₁ i T₂ przestrzeni sa liniowe, to przeksztalcenie S okreslone wzorem S(X) = 2 *T₁(X)−T₂(X) jest tez liniowe. Posluz sie addytywnoscia i jednorodnoscia. tutaj nie mam pomyslu tylko ze T₁(2X)

Trivial: 1. OK Drugie: po prostu udowodnij: S(cx) = cS(x) oraz S(x+y) = S(x) + S(y).

zadanie: dziekuje

zadanie: 3. Korzystajac ze wzoru Jr(X) = r
X na jednokladnosc o skali r oblicz (bez przechodzenia do wspólrz¦dnych) zlozenie Js ◯ Jt i odczytaj jakie to przeksztaªcenie. Js(X)=sX Jt(X)=tX Js ◯ Jt=Js(Jt(X))=Js(tX)=stX jest to jednokladnosc o skali st 4. Translacja o wektor A dana jest wzorem T_A(X) = X + A. Poslugujac sie tym wzorem oraz wzorem na jednokladnosc z poprzedniego cwiczenia wylicz (bez przechodzenia do wspólrzednych) wzór przeksztalcenia zlozonego J_1/r ◯T_A ◯ Jr, i rozpoznaj jakie to przeksztalcenie.

	1
J1/r ◯TA ◯ Jr= J1/r(TA(Jr(X)))=J1/r(rX+A)=(1/r(rX+A))=(X+		A)
	r

	1
jest to translacja o wektor		A.
	r

5. Znajdz wzór (we wspólrzednych) zlozenia symetrii Sxz wzgledem plaszczyzny Oxz z rzutem prostokatnym Pxz na ta plaszczyzne. Wyczytaj ze wzoru jakim przeksztalceniem jest to zlozenie. Sxz(x,y,z)=(x,−y,z) Pxz(x,y,z)=(x,0,z) Pxz ◯ Sxz=Pxz(Sxz(x,y,z))=Pxz(x,−y,z)=(x.0.z)=Pxz jest to rzut prostokatny na plaszczyzne Oxz. moge prosic o sprawdzenie tych zadan?

zadanie: ?

Trivial: ok

zadanie: dziekuje

zadanie: mam jeszcze takie pytanie: zlozenie funkcji f z g to: g ◯ f. (1) zlozenie rzutu Pxy na plaszczyzne Oxy z rzutem prostopadlym Pxz na plaszczyzne Oxz to: Pxz ◯ Pxy (2) to pierwsze wiem, ze jest dobrze a drugie wydaje mi sie, ze tez bo to z czym skladamy jest zawsze z lewej strony przed ◯ czy tak? bo spotkalem sie ze bylo napisane tak: Pxy ◯ Pxz a dotyczylo tego samego zlozenia co napisalem ale chyba ktos sie pomylil bo powinno byc tak jak w (2) prawda?

Trivial: W ogólności powinno składać się za pomocą (1). Akurat tak się złożyło, że Pxz∘Pxy = Pxy∘Pxz, więc nie robi to wielkiej różnicy.

zadanie: dziekuje

zadanie: 6. Jakie przeksztalcenia zadane sa nastepujacymi macierzami? a) (−1 0 0 0 1 0 0 0 −1) wedlug mnie to obrot wokol osi Oy o kat π, bo cosα=−1, sinα=0 (porownujac odpowiednie wyrazy macierzy obrotu wokol osi) b) (−1 0 0 0 −1 0 0 0 −1) wedlug mnie to jednokladnosc o skali −1 wzgledem punktu (0,0,0) (rowniez tak mi wyszlo z porownania macierzy jednokladnosci) czy dobrze mysle?

Trivial: a) ok b) Av = −v czyli OK.

zadanie: dziekuje