Nierówność z 3 niewiadomymi Kukiz: Uzasadnij, że x² + xy² + xyz² ≥ 4xyz − 4 , gdzie x,y,z są liczbami dodatnimi.

Kukiz: Ma ktoś pomysł?

ZKS: Niech f(x ; y ; z) = x² + xy² + xyz² − 4xyz + 4 f'_x = 2x + y² + yz² − 4yz ⇒ 2x + y² + yz² − 4yz = 0 f'_y = 2xy + xz² − 4xz ⇒ 2xy + xz² − 4xz = 0 ⇒ x(2y + z² − 4z) = 0 f'_z = 2xyz − 4xy ⇒ 2xyz − 4xy = 0 ⇒ 2xy(z − 2) = 0 x > 0 ∧ y > 0 ∧ z > 0 więc z trzeciego równania mamy z = 2 2x + y² + y * 2² − 4y * 2 = 0 ⇒ 2x + y² + 4y − 8y = 0 ⇒ 2x + 2² − 4 * 2 = 0 ⇒ x = 2 x(2y + 2² − 4 * 2) = 0 ⇒ x(2y − 4) = 0 ⇒ y = 2 Jedynie liczby spełniające warunek to (x = 2 ∧ y = 2 ∧ z = 2). Dla tych liczb mamy ekstremum które jest równe f(2 ; 2 ; 2) = 2² + 2 * 2² + 2 * 2 * 2² − 4 * 2 * 2 * 2 + 4 = 0. Zatem nierówność x² + xy² + xyz² ≥ 4xyz − 4 jest prawdziwa dla x ; y ; z > 0.

PW: Chcesz pomysł, masz pomysł (tylko nie wiem czy da się zrealizować). x² + (y² + yz² − 4yz)x + 4 ≥ 0, x∊(0,∞) Po lewej stronie jest zwykła funkcja kwadratowa f(x) zmiennej x (z dodatnimi parametrami y i z). Jest (jeśli funkcję f rozpatrywać na całym zbiorze R) f(0) = 4 > 0. Wyróżnik Δ jest funkcją już tylko dwóch zmiennych y i z. Gdyby okazało się, że wyróżnik jest niedodatni, albo dodatni i taki, że miejsca zerowe funkcji f spełniają nierówności x₁ < 0 i x₂ < 0, to nierówność f(x) ≥ 0, x∊(0,∞) jest prawdziwa dla wszystkich x∊(0,∞).

PW: O zanim napisałem swój pomysł, to już ZKS zrealizował. Pytanie tylko do Kukiza − miało być metodami elementarnymi, czy może być?

ZKS: Nie chciało mi się nad jakimś innym sposobem myśleć więc dałem pierwszy lepszy który mi przyszedł do głowy.

zawodus: ciekawe jaki poziom, ale pewnie studia

Kukiz: W tym problem że liceum

Kukiz: Ale dzieki za te rozwiazanie

Saizou : może Vax coś wymyśli np. z nierówności o średnich xd

Vax: Nie ma problemu Stosując trzykrotnie am−gm mamy (szacujemy kolejno x²+4 ≥ 4x potem y²+4 ≥ 4y i na koniec 4y+yz² ≥ 4yz) L = x²+xy²+xyz²+4 ≥ 4x + xy² + xyz² = x(y²+yz²+4) ≥ x(4y+yz²) ≥ 4xyz cnd.

Maslanek: ... brak pytań

Saizou: ten to ma glowe na karku, a w tej glowie cos siedzi czego czlowiek nie moze pojac xd

PW: Chcę powiedzieć, że 2 marca o 15:19 też dobrze podpowiadałem, choć chciałem żeby rozwiązujący wykazał trochę własnej inicjatywy − złapał pomysł z funkcją kwadratową, choć niekoniecznie tą. Należało zacząć od funkcji kwadratowej f(z) = (xy)z² − 4(xy)z +x² + xy² +4.

	4xy
Ponieważ xy >0 funkcja f przy ustalonych x,y osiąga minimum dla z =		= 2 (zwykły
	2xy

wzór na pierwszą współrzędną wierzchołka paraboli). f_min = f(2) = xy•2² − 4xy•2 + xy² + 4 Dla ustalonego x > 0 jest to funkcja kwadratowa zmiennej y: g(y) = xy² − 4xy + x² + 4. Teraz to samo myślenie co wyżej:

	4x
gmin = g(		) = g(2)
	2x

g_min = g(2) = x•2² − 4x•2 + x² +4 Jest to funkcja kwadratowa zmiennej x: h(x) = x² −4x +4 = (x−2)², która osiąga minimum równe 0 dla x = 2. Widać więc, że nierówność f(z) ≥ 0 jest spełniona dla wszystkich x, y, z dodatnich, przy czym równość ma miejsce dla x=2, a kto jeszcze trochę pomyśli dojdzie do tego samego wyniku co ZKS.