wielomiany Iza: bardzo proszę y=W(x) gdzie st. W(x)=4, funkcja W ma jedno miejsce zerowe −2. do wykresu funkcji W naleza punkty A(−3,27) oraz B(1,27). WYkres funkcji W ma z osią OY punkt wspólny (0,24). Napisz wzor funkcji y=W(x) w postaci ogolnej

Wazyl: Jeżeli jest stopnia 4 i wiadomo że ma chociaż jedno miejsce zerowe to wiadomo także że nie jest ono jedyne

Janek191: W(x) = a x⁴ + b x³ + d x² + c x + e Mamy W(− 2) = 16 a − 8 b + 4 c − 2 d + e = 0 W(−3) = 81 a − 27 b + 9 c − 3 d + e = 27 W(1) = a + b + c + d + e = 27 W(0) = e = 24 Po rozwiązaniu tego układu równań otrzymamy : a = 7 b = 24 c = 0 d = − 28 czyli W(x) = 7 x⁴ + 24 x³ − 28 x + 24

PW: Wazyl, nieprawda. Przykład: (0) W(x) = a(x+2)⁴ ma tylko jedno miejsce zerowe. W tym zadaniu wersja (0) jest niemożliwa, co łatwo sprawdzamy podstawiając x=0 i x=1. (1) W(x) = (x+2)P(x), gdzie P jest stopnia trzeciego. Mam pytanie do Izy: − Na pewno dobrze przepisana treść? Jakieś paskudne rachunki wychodzą (albo mam zły dzień).

PW: O, nie odświeżałem dawno, a tu już Janek191 rozwiązał

Trivial: Janek191, jak Ty z 4 równań obliczyłeś 5 niewiadomych to ja nie wiem. PW, jeśli wielomian czwartego stopnia ma mieć tylko jeden pierwiastek, to przewidujemy postać: W(x) = (x+2)²(ax² + bx + c) Gdyż wielomian stopnia trzeciego (tak jak u Ciebie) zawsze ma chociaż jeden pierwiastek. Taka postać wielomianu prowadzi do układu równań: W(−3) = 9a − 3b + c = 27 9a − 3b + c = 27 W(1) = 9(a + b + c) = 27 a + b + c = 3 W(0) = 4c = 24 c = 6 Co już bardzo łatwo rozwiązać. Podstawiając c do pozostałych równań mamy: 3a − b = 7 a + b = −3 Skąd już łatwo: (a,b,c) = (1,−4,6). Zatem: W(x) = (x+2)²(x² − 4x + 6) = ... // wymnożyć Jeszcze sprawdzenie Δ = 16 − 24 < 0 OK.