Odwracanie macierzy - trudne zadanie ed123456: Mamy A∊M(n,n,R) takie, że

	⎧	b gdy i=j
Aij=	⎩	a gdy i≠j

Jak wygląda macierz do niej odwrotna? Domyśliłem się, że na miejscach gdzie i≠j w liczniku będzie −a, na razie tylko tyle.. Jakieś podpowiedzi?

wredulus_pospolitus: po pierwsze: '−a' na pewno nie .. jak już to cała macierz jeszcze przemnożona przez pewną szczególną liczbę po drugie: najlepiej −−− wyznacz macierz odwrotną dla M_2x2 , M_3x3 i M_4x4 ... i odszukaj pewnej 'charakterystyki' ... następnie wydedukuj jak powinna wyglądac odwrotna dla M_5x5 i sprawdź (wymnażając czy naprawdę tak jest po trzecie: udowadniasz albo indukcyjnie albo 'z bomby' wzór ogólny na macierz odwrotną do macierzy podanej w zadaniu ... proponuję 'z bomby' pokazać, że A * A⁻¹ = I

wredulus_pospolitus: wzoru ogólnego CELOWO nie podaję ... pomęcz się trochę ... wzór jest zaskakująco mało skomplikowany

ed123456: A⁻¹ 2x2 wygląda tak

−b		a
a2−b2		a2−b2

a		−b
a2−b2		a2−b2

a 3x3 wygląda tak

b2−a2		a2−ab		a2−ab
b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b

a2−ab		b2−a2		a2−ab
b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b

a2−ab		a2−ab		b2−a2
b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b		b3+2a3−3a2b

Nie każ mi liczyć macierzy 4x4 bo za dużo roboty... jak na teraz nic szczególnego nie zauważam oprócz tego, że na głównej przekątnej są te same wyrazy tak jak w macierzy A

wredulus_pospolitus: ok ... teraz zauważ, że: liczniki: b²−a² = −(a−b)(b+a) a²−ab = a(a−b) mianownik: b³+2a³−3a²b = b³ − a²b + 2a³ − 2a²b = b(b²−a²) + 2a²(a−b) = = (−b(b+a) + 2a²)(a−b) = (−b² − ab + 2a²)(a−b) natomiast w macierzy M_2x2 było: liczniki: −b a mianownik: −b² + a² i teraz ważne jest by policzyć dla M_4x4 ... jeżeli robisz metodą wyznacznikową, to nie dziwne że protestujesz ... ale pamiętaj, że jest o wiele łatwiejsza/szybsza metoda liczenia macierzy odwrotnej −−− i procedura w tej metodzie w tym konkretnym zadaniu będzie taka sama bez względu na 'n' (o ile n≥4), dzięki czemu o wiele łatwiej będzie Ci zauważyć 'zależność' postaci macierzy odwrotnej od wymiaru tejże macierzy.

wredulus_pospolitus: 1) zapisujemy macierz i jednostkową: [b a a a .... a][1 0 0 0 .... 0] [a b a a .... a][0 1 0 0 .... 0] .................... ..................... [a a a a .... b][0 0 0 0 .... 1] 2) pierwsze operacje W_k = W_k − W_k+1 W_n = W_n [b−a a−b 0 0 .... 0 0][1 −1 0 0 .... 0 0] [ 0 b−a a−b 0 .... 0 0][0 1 −1 0 .... 0 0] ...................................... ............................ [ 0 0 0 0 ....b−a a−b][0 0 0 0 ....1 −1] [ a a a a .... a b][0 0 0 0 .... 0 1] 3) kolejne operacje W_k = W_k − ∑_i=k+1ⁿ⁻¹ W_i [b−a 0 0 0 .... 0 a−b][1 0 0 0 .... 0 −1] [ 0 b−a 0 0 .... 0 a−b][0 1 0 0 .... 0 −1] ...................................... ............................ [ 0 0 0 0 ....b−a a−b][0 0 0 0 ....1 −1] [ a a a a .... a b ][0 0 0 0 .... 0 1] 4) kolejne operacje

	a
Wk =		Wk dla k∊<1;n−1> ∩ N+
	a−b

tutaj nie chce mi się już ułamków w drugiej macierzy robić [ −a 0 0 0 .... 0 a ] [ 0 −a 0 0 .... 0 a ] ....................................... [ 0 0 0 0 .... −a a ] [ a a a a .... a b ] 5) W_n = W_n + ∑_i=1ⁿ⁻¹ W_i [ −a 0 0 0 .... 0 a ] [ 0 −a 0 0 .... 0 a ] ....................................... [ 0 0 0 0 .... −a a ] [ 0 0 0 0 .... 0 b+ (n−1)*a ] 6)

	1
Wk =		Wk dla k∊<1;n−1> ∩ N+
	−a

	1
Wn =
	b+(n−1)a

[ 1 0 0 0 .... 0 −1 ] [ 0 1 0 0 .... 0 −1 ] ....................................... [ 0 0 0 0 ....1 −1 ] [ 0 0 0 0 .... 0 1 ] 7) W_k = W_k + W_n dla k∊<1;n−1> ∩ N₊ [ 1 0 0 0 .... 0 0 ] [ 0 1 0 0 .... 0 0 ] ....................................... [ 0 0 0 0 ....1 0 ] [ 0 0 0 0 .... 0 1 ] Dokończ tylko drugą macierz wedle tych 'poleceń' a będziesz miała ogólną formę macierzy odwrotnej.

wredulus_pospolitus: tylko jak zrobisz to ... to napisz jakie Ci wychodzą: A_ii oraz A_ij (dla i≠j)

wredulus_pospolitus: "[...]i procedura w tej metodzie w tym konkretnym zadaniu będzie taka sama bez względu na 'n' (o ile n≥4)[...]" mała poprawka ... cała procedura jest prawidłowa także dla n=3 ... natomiast dla n=2 mamy wszystko poza pkt (3) 'procedury' natomiast przypadek n=1 można wyszczególnić, aby już nie mieszać zbytnio we wzorze ogólnym

ed123456: Dzięki, jak mnie najdzie wena to wezmę się do roboty i napiszę co mi wyszło

ed123456: W operacji, którą oznaczyłeś 3) ma być plus przed sumą, a nie minus

	−(n−2)a−b
Aij=		i=j
	(a−b)[(n−1)a+b]

	a
Aij=		i≠j
	(a−b)[(n−1)a+b]

Czyli w liczniku dla i≠j jest jednak a, znak jest po prostu zależny od tego, czy a−b>0 czy nie. Dziękuję bardzo, naprawdę!

wredulus_pospolitus: może i plus nie ma sprawy ... fajne zadanko ... ale prostackie jeżeli się wybrało tą właśnie metodę obliczania macierzy odwrotnej

wredulus_pospolitus: teraz sobie podstaw n=3 i sprawdź czy dobrze wychodzi