Trójkąt i ciąg arytmetyczny mrcyvill: Witam, mam problem z poniższym zadankiem: Długości boków trójkąta tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz je (długości) wiedząc, że są one liczbami naturalnymi, a największy kąt trójkąta ma miarę 120^o Jestem w stanie policzyć z twierdzenia cosinusów (o ile nie popełniam jakiegoś błędu), że: a₁=1.5r a₂=2.5r a₃=3.5r ale nie wiem czy dalej mogę coś z tym zrobić. A jeżeli jednak mogę, to co? Nic nie przychodzi mi do głowy.

PW: a ≤ b < c b=a+r c=a+2r c²=a²+b²−2abcosγ (a+2r)² = a² + (a+r)² − 2a(a+r)cos120° a²+4ar+4r² = a² +a²+2ar+r² + 2a(a+r)sin30° a²+4ar+4r² = a² +a²+2ar+r² + a² + ar 2a² − ra − 4r² = 0 Rachunki sprawdź! Mamy rozwiązać równanie z niewiadomą a i parametrem r przy założeniu, że a i r są liczbami naturalnymi − i w tym tkwi dowcip, że taki parametr jest do znalezienia (r jest naturalna i rozwiązanie ma być liczbą naturalną).

mrcyvill: Faktycznie, zapomniałem skreślić 2 w twierdzeniu cosinusów. Ale czy równanie nie powinno wyglądać: 2a² − ar − 3r² ? Przy takim równaniu chyba wszystkie liczby naturalne podstawione pod r dadzą poprawny wynik.

Bogdan: Dla uproszczenia obliczeń proponuję przyjąć oznaczenia dla ciągu arytmetycznego (a_n): a₁ = a − r ∊ N, a₂ = a ∊ N, a₃ = a + r ∊ N

	1
cos120o = −
	2

	1
(a + r)2 = (a − r)2 + a2 + 2*a*(a − r)*		⇒ ...
	2

PW: Dlatego pisałem, żebyś sprawdził rachunki 2a² − ar − 3r² = 0 Δ =(−a)² − 4•2•(−3r²) =25r²; √Δ = 5r (bo r>0).

	r−5r
a =		nie spełnia warunków zadania
	4

	r+5r		3
a =		=		r
	4		2

Liczba ta jest liczbą naturalną wtedy i tylko wtedy, gdy r jest liczbą parzystą. Tak więc dla r=2k, k∊N mamy trójkąt o bokach a=3k, b = b=3k+2k = 5k, c = 5k+2k = 7k Odpowiedź: Warunki zadania spełnia trójkąt o bokach 3, 5, 7 i każdy podobny do niego, jeżeli skala podobieństwa jest liczbą naturalną. Twoje rozwiązanie z 26 lutego o 17:13 było więc dobre − wystarczyło zauważyć, że skoro długości boków mają być liczbami naturalnymi, to r musi być parzysta.

mrcyvill: Dzięki. Bardzo mi pomogliście. Niby takie proste zadanie, a sprawiło mi nie lada problem. Chyba muszę wziąć się ostro za arkusze, żeby nie wylądować w takiej sytuacji na maturze Jeszcze raz wielkie dzięki.