Obliczyć całki Radzio: Pilnie potrzebuję pomocy. Całki skomplikowane nawet jako nieoznaczone. a) (dół: 0), (góra: 2π)∫ cos² x dx b) (dół: 0), (góra: 1)∫ ln(1+x² )dx c) (dół: 0), (góra: 1)∫ ^{x2 +4}_{x² +6x+10}dx Ad. a) Rozwiązanie nieoznaczonej znalazłem w książce, ale tego nie rozumiem, więc prosiłbym o wyjaśnienie i sprawdzenie czy dobrze rozwiązana jako oznaczona. ∫ cos² x dx=| u=cosx du=−sinx dx; dv=cosx dx v=sinx|= cosx sinx+∫sin² xdx= cosx sinx+ ∫dx−∫cos² xdx ∫cos² xdx= ^x₂+^{cosx sinx}₂ +C Nie mam pojęcia jakim sposobem z czegoś co wychodzi na to, że się zapętla, wyszedł taki normalny wynik... rozw. oznaczonej: (dół: 0), (góra: 2π)∫ cos² x dx= [^2π₂+^1*0₂]−[⁰₂+^1*0₂]=π <−dobrze Ad. b) Sporo kombinowałem, ale nic z tego konkretnego nie wyszło, a oto zapis: ∫ ln(1+x²)dx= | u=ln|1+x²| du=^2x_1+x² dx; dv=dx v=x | = =xln|1+x²|−2 ∫ ^x2_1+x²dx= | q= ¹_1+x² dq=^−2x_{x⁴ +2x² +1}dx ; da=x²dx a=^x3₃ |= xln|1+x²|−2* ^x3_3+3x²− ⁴₃ ∫ ^x4_x⁴+2x²+1dx=..... nie mam pojęcia czy dobrze zacząłem i czy do czegoś to prowadzi, więc jeśli ktoś czuje się na siłach, to proszę o pomoc Ad. c) (dół: 0), (góra: 1)∫ ^{x2 +4}_{x² +6x+10}dx <−niestety nie wiem jak się w ogóle za to zabrać

wredulus_pospolitus: to zaczniemy od 2)

	2x2
∫ ln (1+x2) dx = xln(1+x2) − ∫		dx =
	1+x2

	2+2x2		2
= xln(1+x2) − ∫ (		−		dx =
	1+x2		1+x2

	2
= xln(1+x2) − ∫ 2dx + ∫		dx = ... całki elementarne ostały się
	1+x2

teraz lecimy 3) zauważamy, że mianownik: x²+6x+10 = x²+6x+9 + 1 = 1+(x+3)² <−−− co już sugeruje co będzie wynikiem całki licznik: x²+4 = x²+6x+10 −6x−6 = x²+6x+10 −6x−18 + 12 i mamy:

	x2+4
∫		dx =
	x2+6x+10

	x2+6x+10		6x+18		12
= ∫		dx − ∫		dx + ∫		dx =
	x2+6x+10		x2+6x+10		x2+6x+10

	f'(x)		1
= ∫ 1 dx − ∫		dx + 12∫		dx
	f(x)		1+ (g(x))2

odpowiednie podstawienia w całce drugiej i trzeciej ... i już masz całeczki elementarne

wredulus_pospolitus: ad 3) ... środkowa całka ... ... ona jeszcze *6 winna być

wredulus_pospolitus: ad 1) ∫cos²x dx = ∫cosx*cosx dx = sinx*cosx − ∫ sinx*(−sinx) dx = = sinx*cosx − ∫ −sin²x dx = sinx*cosx + ∫sin²x dx = = sinx*cosx + ∫ (1−cos²x) dx = sinx*cosx + ∫ dx − ∫cos²x dx = = sinx*cosx + x − ∫cos²xdx i zauważmy że mamy równanie typu: a = 2²⁵⁶⁸⁷ + √π −a 'a' na jedną stronę i wyliczamy 'a' no to tutaj masz: ∫cos²x dx = sinx*cosx + x −∫cos²x dx <=> ∫cos²x dx + ∫cos²x dx = sinx*cosx + x <=>

	sinx*cosx		x
<=> 2∫cos2x dx = sinx*cosx + x <=> ∫cos2x dx =		+
	2		2

teraz rozumiesz jaki jest tok rozumowania

Radzio: Jasne, fajnie to przedstawiłeś. Wielkie dzieki