f(f(x)) - czy zmieniamy dziedzinę? ktosik: Witam, gdy mamy jakąś funkcje np. f(x) = x+1, której dziedzina to np. x>−1. Funkcją której wzór mamy znaleźć jest f(f(x)). Wzór funkcji: f(f(x)) = f(x+1) = x+2, ale czy dziedzina się też zmieni ? − tzn. za x podstawiamy x+1. wtedy dziedzina zmieniłaby się: x>−2.. Zmieniamy dziedzinę czy nie?

Norfolk: Hmm...jesli patrzec na to jak na zlozenie funkcji [bo f(f(x)) = fof(x)], to w zasadzie dziedzina naturalna jest dziedzina funkcji wewnetrznej, a wiec pozostaje x>−1, no chyba ze zdefiniujemy ja inaczej... Przynajmniej ja bym tak na to patrzyl, chociaz rownie dobrze moge byc w bledzie.

PW: Powolutku. Jest funkcja f(x) = x+1 określona na D_f = (−1,∞). Nie wiadomo dlaczego na takim zbiorze, bo mógłby być przecież cały zbiór R, ale powiedzmy że coś ćwiczymy. Chcąc wykonać złożenie f(f(x)) musimy mieć pewność, że dla każdego y = f(x) da się policzyć f(y) − za drugim razem funkcja f chce działać na elementy, które już nie są brane z dziedziny funkcji f, ale ze zbioru jej wartości W_f. Musimy więc sprawdzić, czy jest to możliwe − czy W_f jest podzbiorem D_f. Sprawdzamy: dla x∊D_f, czyli x∊(−1,∞), jest y = f(x) = x+1 ∊ D_f (oczywiste jest, że dla x>−1 jest x+1 > 0 > −1, a więc x+1∊(−1,∞)). Mówiąc uczenie − zbiór wartości funkcji f jest zawarty w dziedzinie D_f : W_f = (0,∞) ⊂ D_f, a więc złożenie f(f(x)) jest możliwe. Dziedziną funkcji f(f(x)) jest D_f − nic nie zmieniamy, to się da obliczyć zawsze. Prosty przykład "na nie". f(x) = −x+5, D_f=(0,10). Zbiór wartości tej funkcji W_f = (−5,5) nie jest zawarty w D_f, a więc złożenie f(f(x)) nie jest możliwe (nie da się wykonać dla wszystkich x, np. f(2) = −2 i nie da się obliczyć f(f(2)) = f(−2), bo funkcja f nie jest określona dla liczb ujemnych). Tu chcąc mieć pewność, że złożenie ma sens musielibyśmy ograniczyć dziedzinę do takich x, dla których f(x)∊(0,10) − trzeba rozwiązać nierówność 0 < −x+5 < 10, x∊(0,10) − rozwiązaniem jest przedział (0,5). Odpowiedź: złożenie f(f(x)) ma sens tylko dla x∊(0,5). Przykład trudniejszy (?): (*) g(x) = log(log(x)) Nie wystarczy zapewnić, że x> 0 i (tego wymaga definicja funkcji f(x) = log(x)). Chcąc wykonać złożenie g(x) = f(f(x)) musimy mieć pewność, że za drugim razem logarytm też da się obliczyć, czyli że log(x) > 0. to znaczy logx > log 1. Dlatego chcąc mieć pewność, że funkcja g ma sens, musimy założyć dwie rzeczy: x > 0 i logx > log 1, x > 0 i x > 1 (nierówność wynika z faktu, że logarytm o podstawie 10 jest funkcją rosnącą), czyli łącznie x > 1. Odpowiedź: funkcja określona wzorem (*) ma sens dla x > 1.

ktosik: Uproszczona wersja zadania z Pomorskiego Konkursu Matematycznego 2013: Dana jest funkcja:

	⎧	3−x dla x≥0
f(x)=	⎩	3+x dla x<0

Sporządź wykres funkcji y = f(f(x)). − Uproszczenie polega na podaniu bez wartości bezwzględnej. 1) warunki x≥0 i x−3≥0, czyli D=<3,+∞) 2) warunki x<0 i x+3 <0, czyli D=(−∞,−3) Czyli wykres funkcji będzie tylko w tych przedziałach?

PW: Funkcja, którą podałeś jest określona dla wszystkich x, a więc składanie jest możliwe zawsze (co by nie wyszło jako wartość funkcji wewnętrznej f, to można liczyć od tego wartość za pomocą funkcji zewnętrznej f). Poza tym popatrz co napisałeś: "wykres funkcji będzie tylko w tych przedziałach". A są na osi jeszcze jakieś?

ktosik: W 1) mam błąd: powinno być 3−x≥0, wtedy x≤3. Część wspólna z x≥0, czyli x∊<0,3>? Nie rozumiem za bardzo: " (co by nie wyszło jako wartość funkcji wewnętrznej f, to można liczyć od tego wartość za pomocą funkcji zewnętrznej f)"

PW: W napisie h(g(x)) przyjęło się funkcję g nazywać funkcją wewnętrzną (jej wartości obliczamy jako pierwsze), a funkcję h − funkcją zewnętrzną złożenia. Powtarzam: badana funkcja da się obliczyć (jest zdefiniowana) dla wszystkich x, nie ma więc żadnych ograniczeń na dziedzinę − da się wyliczyć wartość funkcji wewnętrznej f i następnie wartość funkcji zewnętrznej f. O tym nie dyskutujmy. Inna sprawa − którym wzorem ("górnym" czy "dolnym") za drugim razem będziemy liczyli, czyli jak będzie wyglądał wzór określający złożenie. Z tej to przyczyny pisząc wzór (pewnie będzie kilka wersji na różnych przedziałach) musimy rozwiązać jakieś nierówności. Ale to zadanie konkursowe ...

ktosik: To zadanie konkursowe jest bodajże z poprzedniej edycji. Czyli dziedzina się nie zmienia, jeśli dobrze zrozumiałem... Czy to byłoby tak(czy będzie więcej przedziałów?):

	⎧	x dla x≥0
f(f(x)) =	⎩	x+6 dla x<0