Parametr Marcin: Dla jakiej wartości parametru równanie ma dokładnie jedno rozwiązanie. 4^x+4^x−1+4^x−2+....=4^2x−1+m

Bogdan: Lewa strona równania to ...

Janek191: 4^x + 4 ^{x − 1} + 4 ^{x −2} + ... = 4^{2x − 1} + m

	1		1		1
4x +		*4x +		*4x + ... =		*( 4x)2 + m
	4		16		4

	1		1		1
( 1 +		+		+ ... ) *4x =		* (4x}2 + m
	4		16		4

1		1
	,		, .... − ciąg geometryczny
4		16

	1		1
a1 =		q =
	4		4

więc

	a1		14		1
S =		=		=
	1 − q		1 − 14		3

zatem mamy

	1		1
( 1 +		)*4x =		*( 4x}2 + m
	3		4

	4		1
(		)*4x =		*( 4x)2 + m / *
	3		4

1		4
	*( 4x)2 −		*4x + m = 0
4		3

4^x = t > 0

1		4
	t2 −		t + m = 0 / * 12
4		3

3 t² − 16 t + 12 m = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 256 − 4*3*12 m = 256 − 144m = 0 144 m = 256

	256		16
m =		=
	144		9

====================== Wtedy Δ = 0

	16		8
t =		=
	6		3

	8
4x =
	3

	8
22x =
	3

	8
log2 22x = log2
	3

	8
2x = log2
	3

	8
x = 0,5 log2
	3

	16
Odp. m =
	9

================

Janek191:

	16
m =
	9

Janek191: 4^x + 4 ^{x − 1} + 4 ^{x −2} + ... = 4^{2x − 1} + m

	1		1		1
4x +		*4x +		*4x + ... =		*( 4x)2 + m
	4		16		4

	1		1		1
( 1 +		+		+ ... ) *4x =		* (4x}2 + m
	4		16		4

1		1
	,		, .... − ciąg geometryczny
4		16

	1		1
a1 =		q =
	4		4

więc

	a1		14		1
S =		=		=
	1 − q		1 − 14		3

zatem mamy

	1		1
( 1 +		)*4x =		*( 4x}2 + m
	3		4

	4		1
(		)*4x =		*( 4x)2 + m / *
	3		4

1		4
	*( 4x)2 −		*4x + m = 0
4		3

4^x = t > 0

1		4
	t2 −		t + m = 0 / * 12
4		3

3 t² − 16 t + 12 m = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 256 − 4*3*12 m = 256 − 144m = 0 144 m = 256

	256		16
m =		=
	144		9

====================== Wtedy Δ = 0

	16		8
t =		=
	6		3

	8
4x =
	3

	8
22x =
	3

	8
log2 22x = log2
	3

	8
2x = log2
	3

	8
x = 0,5 log2
	3

	16
Odp. m =
	9

================

Janek191: 4^x + 4 ^{x − 1} + 4 ^{x −2} + ... = 4^{2x − 1} + m

	1		1		1
4x +		*4x +		*4x + ... =		*( 4x)2 + m
	4		16		4

	1		1		1
( 1 +		+		+ ... ) *4x =		* (4x}2 + m
	4		16		4

1		1
	,		, .... − ciąg geometryczny
4		16

	1		1
a1 =		q =
	4		4

więc

	a1		14		1
S =		=		=
	1 − q		1 − 14		3

zatem mamy

	1		1
( 1 +		)*4x =		*( 4x}2 + m
	3		4

	4		1
(		)*4x =		*( 4x)2 + m / *
	3		4

1		4
	*( 4x)2 −		*4x + m = 0
4		3

4^x = t > 0

1		4
	t2 −		t + m = 0 / * 12
4		3

3 t² − 16 t + 12 m = 0 −−−−−−−−−−−−− Δ = 256 − 4*3*12 m = 256 − 144m = 0 144 m = 256

	256		16
m =		=
	144		9

====================== Wtedy Δ = 0

	16		8
t =		=
	6		3

	8
4x =
	3

	8
22x =
	3

	8
log2 22x = log2
	3

	8
2x = log2
	3

	8
x = 0,5 log2
	3

	16
Odp. m =
	9

================

Bizon:

4*4x		4*4x		42x
	−42x−1=m ⇒		−		=m ⇒ 16*4x−3*42x=12m
3		3		4

4^x=t dla t>0 3t²−16t+12m=0 Δ=256−144m

	256		16
Δ=0 144m=256 ⇒ m=		=
	144		9

Marcin: dzięki !