zadania maturalne razor: 1. Wykaż, że dla dodatnich liczb x, y, z prawdziwa jest nierówność (x² + y² + z²)(¹_x² + ¹_y² + ¹_z²) ≥ 9 2. Wyznacz wszystkie wartości parametru m, dla których równanie ¹_m−1x² − (m+1)x + ^m_m−1 = 0 ma dwa rozwiązanie takie, że x₁ < 0, x₂ > 0, |x₁| < |x₂| 3. Wykaż, że jeśli liczba n jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych, to liczba 5n także jest sumą kwadratów dwóch liczb całkowitych. 4. Wyznacz wszystkie pary liczb całkowitych spełniających równanie: a³ + 2a²b + ab² = 18

PW: Do zadania 1. 1. Jeżeli znasz nierówność między średnią arytmetyczną a geometryczną, to dowód jest natychmiastowy. 2. Jeżeli nie znasz tej nierówności, to patrz punkt 1 (szkoda czasu na co innego).

PW: 4. a(a²+2ab+b²) = 18 a(a+b)² = 18 Liczba (a+b)² jest dodatnia jako kwadrat liczby całkowitej (zerem być nie może, gdyż musi być jednym z czynników dających iloczyn 18). Wobec tego a też jest liczbą dodatnią. Mamy następujące możliwości: 1•18 = 18 2•9 = 18 3•6 = 18 6•3 = 18 9•2 = 18 18•1 = 18. Podać odpowiadające im a i b.

zombi: Odnośnie zadania pierwszego, skorzystaj z lematu, że dla x,y>0 zachodzi

x		y
	+		≥ 2 (tylko go udowodnij)
y		x

zombi: n = a² + b² ⇒ 5n = 5a² + 5b² = (a−2b)² + (2a+b)² ckd.