Pochodne Antek: Mam takie pytania czym się rożni 1 warunek istnienia ekstremum od 2? tym ze w 1 przypadku pochodna sie liczy raz a w 2 przypadku pochodna 2 razy?

Antek: ?

Antek:

Antek: Proszę o pomoc

PW: Dziwne pytanie zadajesz. To są dwa różne twierdzenia. "Czynnościowo" masz rację − w pierwszym wypadku liczy się pierwszą pochodną (ale trzeba sprawdzić, czy w sąsiedztwie "podejrzanego" punktu pochodna zmienia znak). Stosując drugie twierdzenie ...

Antek: Czyli w praktyce jak np dostane zadanie 2 warunek to jesli oblicze 2 pochodne porownam do 0 narysuje itp to nie wszystko? Chodzi mi o to ze wlasnie przez ten 1 i 2 warunek musze sie zjawic na poprawce z matematyki za 2 dni

Antek: Chodzi ci o znaki − + na wykresie czy o co

PW: Dobrze by było przeczytać uważnie wszystkie założenia do obu twierdzeń i przećwiczyć ich zastosowanie na funkcji f(x) = x³ − najpierw pierwsze twierdzenie, potem drugie.

Antek: Może tak mam przykład 4x³+3x² + 2x+2 Licze pochodna 12 x² +6x+2 12x²+6x+2=0 6x²+3x+1=0 delta=ok dałem glupi przyklad bo delta ujemna ale powiedzmy ze wyszlo x1 = 3 x2 = 5 No i rysuje z gory wykres i mam od −oo do 3 + od 3 do 5 − i od 5 do oo + czyli funkcja ma maksimum w punkcie (1,y(niewazne) i minimum w punkcie 5,y Tak postepuje w wypadku 1 warunku ? a z 2 tak samo tylko 1 pochodna wiecej licze?

Antek: Po prostu patrząc na te skomplikowane regułki nie moge nic wywnioskowac ; c

Antek: minimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie \delta >0,\, że: f⁽x₀)=0 f⁽x)<0 dla x\in (x₀−\delta ,x₀) f⁽x)>0 dla x\in (x₀,x₀+\delta ) maksimum lokalne wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie \delta >0,\, że f⁽x₀)=0 f⁽x)>0 dla x\in (x₀−\delta ,x₀) f⁽x)<0 dla x\in (x₀,x₀+\delta ) Czy to jest tylko 1 warunek? bo w jakis materialach mam ze 1 warunek jest do momentu maksimum a 2 warunek to co pod maksimum

PW: Weźmy tak jak chcesz f ' (x) = 6(x−3)(x−5). Miejsca zerowe pochodnej to 3 i 5 − sa to punkty "podejrzane o ekstremum". Rysujemy parabolę i patrzymy − w sąsiedztwie punktu 3 pochodna zmienia znak z "+" na "−" − badana funkcja f z lewej strony tego punktu rosła, z prawej zaczyna maleć − w punkcie 3 osiąga maksimum. Z lewej strony punktu 5 pochodna jest ujemna, z prawej dodatnia − badana funkcja f z lewej strony punktu 5 malała, z prawej rośnie − w 5 jest minimum. Koniec rozważań − wiemy, gdzie f ma minimum i gdzie maksimum lokalne. Teraz spróbuj drugim twierdzeniem: f ' (3) = 0 i f '(5) = 0. Nie rysujemy paraboli, nie rozwiązujemy nierówności f '(x) > 0. Liczymy drugą pochodną f''(x) = 6(2x−8) i podstawiamy: f''(3) = ..., f''(5) =... Jakie są wyniki? Co mówi drugie twierdzenie dla takich wyników?

Antek: Czy to jest 2 warunek czy zupełnie co innego Jeśli o funkcji f określonej jak wyżej, założy się dodatkowo, że jest dwukrotnie różniczkowalna w przedziale (a,b)\, oraz jej druga pochodna jest ciągła, to jeżeli f⁽x₀)=0 i f⁽x₀)\ 0, to funkcja f\, ma w punkcie x₀\, ekstremum, przy czym, gdy f^x₀)<0, to jest to maksimum lokalne, a gdy f^}(x₀)>0, to minimum lokalne Powyższe kryterium nie rozstrzyga przypadku, gdy druga pochodna jest równa zero. Przepraszam ze tak beznadziejne skopiowane z wikipedi

Antek: Dziękuje za takie rozpisanie się , to jeszcze mam pytanie ktora definicja jest poprawna

PW: Rzeczywiście nie skopiowało się dobrze. Przede wszystkim nie są to definicje, tylko dwa różne twierdzenia. Można stosować pierwsze, można drugie − w zależności od upodobań i od tego jak wygląda funkcja i jej pochodna. Dokończ myśl z 18:09 i odpowiedz sobie na te pytania. Potem spróbuj przećwiczyć oba twierdzenia na funkcji f(x) = x³ − to bardzo dobry przykład.

Antek: Punkt, w którym być może zostało osiągnięte ekstremum funkcji to punkt x₀=0. Żeby zobaczyć, czy faktycznie zostało w nim osiągnięte ekstremum liczymy pochodną drugiego rzędu (zamiast rysować np. wykresy) i mamy: y{prime}{prime}=(2x){prime}=2 Liczymy jej wartość w punkcie x₀=0, wstawiając do niej za x−sa 0. W naszym prościutkim przypadku w funkcji nie mamy żadnego x, więc po prostu przechodzimy od razu do sprawdzenia znaku. Jest on dodatni (y{prime}{prime}=2), zatem funkcja osiąga w punkcie x₀=0 minimum lokalne. Znalazłem takie coś z etrapeza Czy to wlasnie na tym to polega?

Antek: Nie no ogolnie sorry za marudzenie ale chyba jestem za glupi na to .. jak patrze na innych stronach to po prostu licza 2 pochodna i wszystko tak samo sie odbywa