Kolokwium studia I sem.
Krzysiek: Witam! W poniedziałek mam poprawę kolosa z matmy. Wiem mniej więcej jakie zadania na nim będą
ale mam problem z ich rozwiązaniem. Pierwsze zrobiłem, ale nie wiem czy dobrze, więc proszę o
ocenę
Szukałem takich zadań na forum, ale niestety nie udało mi się znaleźć
1. Rozwiąż równanie a pierwiastki przedstaw w postaci algebraicznej:
z
3 − 4z
2 + 2z − 8 = 0
z (z
2 + 2) − 4 (z
2 + 2) = 0
(z − 4) * (z
2 + 2) = 0
z=4 v z
2 + 2 = 0
z
2 = −2
z =
√−2
z =
√−2i v z = −
√−2i v z=4
Dobrze?
2. Rozwiąż układ równań:
x
1 + x
2 + x
3 = 3
x
1 − x
2 + x
3 = 1
3x
1 − 2x
2 + x
3 = 2
(w klamerce) Wiem, że to można zrobić na kilka sposobów, ale prosiłbym o ten najbardziej
łopatologiczny żebym załapał teraz, skoro na wykładzie mi się nie udało.
3. Rozwiązanie trzeba przedstawić na płaszczyźnie zespolonej
|z| + ix = 1
I teraz to co mnie męczy najbardziej... Jakbyście mogli podać wzory z których korzystacie to
byłbym wdzięczny.
4. Wyznacz odległość punktu P
0 (3,2,4) od płaszczyzny o równaniu x + y + z = 0
5. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środek układu współrzędnych i prostopadłej do
płaszczyzny przechodzącej przez punkty A(2,0,0), B(0,1,0), C(0,0,1)
To zacząłem, (wektor prostopadły do płaszczyzny to chyba będzie (1,2,2) ) bo znalazłem na
jakimś forum, ale zawiesiłem się w momencie gdzie twórca napisał "(x0,y0,z0) − dowolny punkt
na płaszczyźnie, np: A(1,0,2)". Czemu dowolny? Można tak? link:
http://www.matematyka.pl/8050.htm
22 lut 21:59
Janek191:
z.1 źle
..........
z − 4 = 0 lub z2 + 2 = 0
z = 4 lub z2 = − 2 ⇒ z2 = 2 i2
z = 4 lub z = −√2 i lub z = √2 i
===================================
22 lut 22:08
Janek191:
z.1 źle
..........
z − 4 = 0 lub z2 + 2 = 0
z = 4 lub z2 = − 2 ⇒ z2 = 2 i2
z = 4 lub z = −√2 i lub z = √2 i
===================================
22 lut 22:08
Janek191:
z.2
Np.
1) x1 + x2 + x3 = 3
2) x1 − x2 + x3 = 1
3) 3x1 −2 x2 + x3 = 2
Dodajemy 1) do 2) stronami
2 x1 +2 x3 = 4 ⇒ x1 + x3 = 2
2) pomnożone przez ( − 2) dodajemy do 3)
x1 − x3 = 0 ⇒ x 3 = x1
zatem
x1 + x1 = 2 ⇒ 2 x1 = 2 ⇒ x1 = 1
x2 = x1 = 1
x3 = 2 − x1 = 2 − 1 = 1
Odp. x1 = x2 = x3 = 1
=====================
22 lut 22:16
Janek191:
Pomyliłem się − w III wierszu od dołu powinno być :
x3 = x1 = 1
x2 = 3 − x1 − x3 = 3 − 1 − 1 = 1
Odp. x1 = x2 = x3 = 1
====================
22 lut 22:19
Krzysiek: Tak, w pierwszym zrobiłem literówkę − w zeszycie mam dobrze
I dzięki za drugie! A ta metoda
zawsze znajduje zastosowanie?
22 lut 22:25
Janek191:
Tak
Można też ten układ rozwiązać przy pomocy wyznaczników 3 stopnia.
22 lut 22:39
Krzysiek: Ale przecież nie zawsze różnica dwóch wyrazów będzie równa 0... Co wtedy?
22 lut 22:46
Krzysiek: Pozostałe zadanka anyone?
22 lut 23:29
Krzysiek: 3.|z|=√x2+y2
i porównujesz części rzeczywiste i urojone.
4.poszukaj wzoru.
5.wektor ok. więc masz równanie prostej:
(x,y,z)=(0,0,0)+t[1,2,2]
23 lut 00:22
Krzysiek: d(A,π)=|Ax0 + B+y0 + Cz0 +D|√A2 + B2 + C2
Czy to może być ten wzór? A jeśli tak to co jest czym?
Żeby było czytelniej: licznik |Ax0 + B+y0 + Cz0 +D|, mianownik √A2 + B2 + C2
23 lut 00:59
Krzysiek: By0 *
23 lut 01:00
Krzysiek: I jak porównać te części rzeczywiste i urojone? Mam zrobić √x2 + y2 = 1 − ix?
23 lut 01:01
Maslanek: |z|+ix=1
Niech z=x+iy; x,y∊R
Wtedy: √x2+y2+ix=1
(√x2+y2−1)+ix=0
Z porównania części mamy:
√x2+y2−1=0
x=0
Skąd y=1 lub y=−1
Czyli punkty, które nas interesują: (0,−1); (0,1)
23 lut 01:06
Krzysiek: I to jest rozwiązanie na płaszczyźnie zespolonej? Dzięki!
23 lut 01:15
Krzysiek: Oczywiście zrobiłem błąd w treści zadania. Chodziło o |z|2 + ix = 1
23 lut 15:55