funkcje Lala:

	x3+16
wyznacz najmniejszą wartość funkcji f(x)=		gdy x>0 na nawet od czego zacząć ..
	x

proszę o pomoc

PW: Chcesz liczyć pochodne, czy metodą elementarną?

Lala: metodą elementarną

oskar: AM−GM

8   8   x2 + +   x   x
	≥ 3√x2*8x*8x
3

⇔

	8		8		16
x2 +		+		= x2 +		≥ 3*3√x2*8x*8x = 12
	x		x		x

zombi: am−gm

zombi: ktoś mnie uprzedził

Lala: to teraz powoli od początku skąd się to wzięło? w pierwszym wyrażeniu w liczniku wyłączyłeś x przed nawias i skróciłeś ale skąd ta 3?

PW: Lala, nie wierz im. Żadne "⇔". Nierowność jest prawdziwa, ale trzeba pokazać, że wartośc 12 jest osiagana na (0,∞). Masz wyznaczyć minimum, a nie pokazać, że "być może minimum jest rowne 12"

Lala: to powiedz kolego jak to zrobić

zombi: Z nierówności między średnią arytmetyczną i geometryczna 3 liczb: Jeśli a,b,c>0 to zachodzi

a+b+c
	≥ 3√abc
3

	x3+16		16		8		8
Wyrażenie		rozbijamy na x2 +		= x2 +		+		, czyli mamy sumą
	x		x		x		x

	8	8
trzech liczb, nasze a+b+c ich iloczyn to x2			= 64, wracając do naszej
	x	x

nierówności mamy

x3+16
	≥ 3*4 = 12, zatem najmniejsza wartość tego wyrażenia to 12.
x

zombi:

	x3+16
No to wystarczy sprawdzić, czy wyrażenie		= 12 dla jakiegoś x>0
	x

Rozwiązujesz równanie x³ − 12x + 16 = 0, którego pierwiastkiem jest x=2, który jest oczywiście >0 zatem spełnia nasze minumum, więc ono jest osiągalne.

Lala: ok, dzięki

PW: Warto też znać dokładnie treść stosowanych twierdzeń. Nierówność między średnimi staje się równością gdy wszystkie składniki są sobie równe, więc wystarczyło sprawdzić, czy istnieje x > 0, dla którego

	8
x2 =
	x

− jest to liczba ³√8 = 2. Sprawdzenie:

	23+16
		= 12.
	2